Введение

Идея о колебательной общности кажущихся непохожими на первый взгляд явлений самой различной природы (механических, электромагнитных, химических, биологических и т.д.) в наше время представляется естественной не только искушенным исследователям, но даже вчерашним школьникам. Действительно, в ответ на вопрос, что такое гармонический осциллятор, многие из них приведут в качестве примера и маятник «ходиков», и электрический контур, составленный из емкости и индуктивности одновременно. Тем не менее и сегодня колебательные явления и эффекты, наблюдаемые в не столь тривиальных ситуациях, зачастую не всегда легко связать с основными элементарными процессами. Особенно это относится к волновым задачам. Поэтому имеется насущная потребность в учебном курсе, в котором современная теория колебаний и волн предстала бы перед читателем своими явлениями и эффектами, обнаруживаемыми в самых различных приложениях, но допускающими единое описание и понимание. Подчеркнем, что, хотя формально единство колебательных и волновых процессов совершенно различной природы основывается на сходстве математических моделей, оно не исчерпывается им. Ничуть не менее важным является «межведомственная» система понятий, моделей и приближений, позволяющая ориентироваться в чрезвычайном разнообразии колебательных и волновых процессов, которые встречаются в природе и технике.

Попытаемся кратко сформулировать предмет теории колебаний и волн. Теория колебаний и волн — это область науки, исследующая колебательные и волновые явления в системах различной природы; причем эта теория в первую очередь интересуется общими свойствами колебательных процессов, а не деталями поведения системы, связанными с проявлением ее конкретной природы (физической, биологической и т. д.). Основываясь на анализе моделей, теория колебании и волн устанавливает общие свойства в реальных системах. Содержание теории заключается в том, что она позволяет определить связь между параметрами системы и ее колебательными или волновыми возможностями в случае тех или иных эффектов.

Применение теории колебаний и волн в каждом конкретном случае предполагает определенную идеализацию реальной системы —

построение модели и написание для нее соответствующих уравнений (обыкновенных дифференциальных, в частных производных, разностных и т.д.); принимаемые идеализации для одних и тех же систем могут быть различны в зависимости от того, об исследовании какого явления идет речь, т. е. модель должна соответствовать не только системе, но и явлению. Например, когда речь идет только об условиях раскачки качелей при периодическом изменении их длины, модель может быть совсем простой — линейный осциллятор с переменной частотой. Когда же требуется определить условие стабилизации колебаний, их форму и т.д., необходимо усовершенствовать модель, учитывая (как минимум) зависимость частоты колебаний от их амплитуды. Таким образом, мы приходим к модели нелинейного осциллятора с периодически изменяемым параметром. Другой пример — морские волны. Их также можно описывать с помощью линейной модели (волнового уравнения для волн с дисперсией), если мы интересуемся поведением волн не слишком большой амплитуды далеко от берега. Для описания же опрокидывания волны и образования бурунов мы, конечно, должны строить нелинейную модель.

Подчеркнем еще раз, что на основе сложившихся представлений теории колебаний и волн можно связать те или иные явления в конкретной системе с ее характеристиками, фактически не решая задачи. Например, когда речь идет о преобразовании энергии одних колебаний в другие в слабо нелинейной системе или среде, будь то волны на воде, электромагнитные колебания в ионосфере или колебания маятника на пружине, можно сказать сразу, что такое преобразование возможно только в случае, когда выполнены определенные резонансные условия между собственными частотами подсистем.

Впервые наиболее ясно мысль о колебательном единстве, казалось бы, совершенно разных явлений высказал Рэлей в своей «Теории звука», в которую он поместил дополнительную главу об электрических колебаниях, подчеркивая, что оба вида малых колебаний — звуковые и электрические — в определенном смысле одинаковы. Книга Рэлея — это фактически первый курс теории колебаний и волн в линейных системах — «линейных колебаний».

Однако линейные колебания — колебания малой амплитуды, для которых характерен аддитивный отклик на аддитивные воздействия (выполняется принцип суперпозиции), по существу, есть результат приближенности описания. Уравнения линейных колебаний получаются в результате линеаризации исходной модели какого-либо выделенного состояния или движения исследуемой системы или среды. При более

общем рассмотрении оказывается, что большинство явлений нашего мира нелинейно. Первой из наук с этим столкнулась небесная механика. Было обнаружено, что период обращения планет зависит от их энергии (третий закон Кеплера). Нелинейность — неотъемлемое свойство любой системы, эволюционирующей во времени. В частности, всякий переход из одного квазиравновесного состояния в другое связан с проявлением нелинейности — возникновение и эволюция Вселенной, рождение, жизнь и смерть звезд, слияния и распады частиц, их рождение из вакуума, наконец, самопроизвольное образование сложных структур, приведшее в конечном итоге к возникновению органической жизни. Сейчас исследование нелинейных проблем привлекает большое внимание не только механиков, физиков, но и биологов, химиков, экономистов и т. д. К числу «нелинейных наук» сейчас относятся и теория элементарных частиц, и неравновесная термодинамика, и динамика атмосферы и океана, и многие другие области современной науки.

Уже в первые десятилетия нашего века нелинейные проблемы обсуждались не только применительно к механике (задача трех тел, волны на воде и т. д.) и к акустике, но и в связи с исследованием свойств твердых тел (учет ангармоничности колебаний атомов в кристаллической решетке в теории теплопроводности). Нелинейные задачи ставились зарождающейся радиотехникой (детектирование и генерация колебании); они непрерывно появлялись в других разделах науки и техники. Однако «нелинейные трудности» в этих различных областях казались совершенно специфическими и не связанными друг с другом. И лишь в 20-30-е годы в значительной мере благодаря деятельности Леонида Исааковича Мандельштама — создателя советской школы «нелинейных физиков» — среди специалистов различных областей физики и техники начало вырабатываться «нелинейное мышление», и они начали перенимать нелинейный опыт друг у друга. Общность нелинейных явлений различной природы и общность их моделей, образов и методов рассмотрения стали почти очевидными. Сформировался своеобразный нелинейный язык, оперирующий такими понятиями, как нелинейный резонанс, автоколебания, синхронизация, конкуренция, параметрическое взаимодействие и т. д. Этот язык сопутствовал формированию современной теории колебаний и волн.

Подчеркнем здесь, что в настоящее время колебательные и волновые задачи считаются предметом единой теории. Исторически же

теория колебаний и теория волн значительный период времени развивались независимо. Дело в том, что до середины 50-х годов теория волн интересовалась в основном линейными задачами (исключением были гидродинамика и газодинамика), интересы же классической теории колебаний были сосредоточены на нелинейных проблемах. Причем теория колебаний нелинейных систем с одной степенью свободы к этому времени была уже практически завершена. Это оказалось возможным благодаря введению А. А. Андроновым и Л. С. Понтрягиным понятия грубых динамических систем — систем, качественно не меняющих своего поведения при малом изменении параметров. Детальный анализ грубых систем в совокупности с полным исследованием качественных перестроек двумерных фазовых портретов при сколь угодно малом изменении параметров позволяет ответить практически на любой вопрос о поведении нелинейной динамической системы с двумерным фазовым пространством.

Интенсивные исследования нелинейных волн начались лишь в 60-е годы: именно тогда родились нелинейная физика плазмы, нелинейные оптика и акустика, электродинамика, физика высоких энергий (включающая физику взрыва и ударных волн). Появилась нелинейная термодинамика, описывающая переходы в системах (в частности, химических и биологических), далеких от термодинамического равновесия.

Для иллюстрации современного состояния теории нелинейных колебаний и волн остановимся здесь кратко лишь на двух ее направлениях — исследовании когерентных состояний и сложных детерминированных структур и анализе случайного (стохастического) поведения детерминированных систем. Взаимосвязь динамики и статистики волнует физиков уже на протяжении столетия, и, конечно, главным всегда был вопрос: можно ли строго получить статистическое описание из динамического? До недавнего времени ответ был отрицательным. Возникновение случайности в классической (неквантовой) динамической системе (не подверженной действию шумов) связывалось исключительно с ее сложностью — чрезвычайно большим числом степеней свободы (например, газ в сосуде), когда детерминированное описание просто теряет смысл, хотя в принципе и возможно. При этом переход к вероятностному описанию основывался на какой-либо гипотезе (например, эргодической). Появившаяся сейчас строгая теория позволяет утверждать, что нелинейные динамические системы могут в прямом смысле

«порождать статистику», т. е. статистический подход здесь не приближенный метод описания, а единственно верное отражение реального поведения динамической системы. Поразительность недавних физических и математических открытий заключается, в частности, в том, что случайное поведение демонстрируют уже и очень простые нелинейные системы (с малым числом степеней свободы), например, шарик в бильярде с вогнутыми стенками, электрон в ноле двух синусоидальных волн и др. Как возникает случайность в детерминированной системе вопреки единственности решения? Односложный ответ — в результате неустойчивости индивидуальных движений, происходящих внутри ограниченного фазового объема. Неустойчивость всех финитных движений (движения происходят в ограниченной области пространства) гарантирует сложность почти всех отдельных движении и бесконечное их разнообразие, благодаря чему естественным образом появляется понятие ансамбля и основывающееся на нем статистическое описание.

Сейчас построена, в основном, подтверждаемая экспериментом теория перехода от детерминированного поведения к стохастическому для самых разнообразных динамических систем (гидродинамических течений, радиотехнических генераторов случайных сигналов, автокаталитических химических реакций и др.).

Может показаться естественным, что если уже поведение системы с малым числом степеней свободы может быть сложным, то система с бесконечным числом степеней свободы заведомо должна демонстрировать случайное поведение. Однако в общем случае это не так. В свое время была выдвинута гипотеза о том, что в системах с очень большим числом степеней свободы наличия даже слабой нелинейности достаточно, чтобы энергия, запасенная в отдельных степенях свободы, распределилась по всем модам и таким образом установилось термодинамическое равновесие. Для поддержания этих представлений в конце 40-х годов была проведена серия численных экспериментов с моделями нелинейных цепочек из большого числа частиц, но термализации не обнаружилось — система периодически возвращалась в состояние с начальным распределением энергии (парадокс Ферми-Паста-Улама). В действительности нелинейные волновые системы бывают двух типов — интегрируемые (или близкие к ним), они демонстрируют лишь простое периодическое или квазипериодическое поведение, и неинтегрируемые. Неинтегрируемые системы при достаточно большой начальной энергии стохастизуются. По случайному стечению обстоятельств цепочка, с которой работали Ферми, Паста и Улам, при выбранных ими значениях параметров оказалась близкой к интегрируемой.

И в интегрируемых, и в неинтегрируемых системах возможно существование частных решений, соответствующих так называемым когерентным образованиям, или пространственным структурам. Пример — солитоны, стационарные ударные волны и др.

Когерентные нелинейные образования сейчас детально исследованы в физике твердого тела (домены), в физике плазмы (ленгмюров-скпе солитоны), в геофизике и океанологии (циклоны и антициклоны, ринги), в физике планетных атмосфер (Красное пятно Юпитера), в нелинейной оптике (сверхкороткие импульсы). Сейчас есть надежда на подтверждение представлений об элементарных частицах как о солитонах квантовых полей.

С точки зрения биофизики чрезвычайно интересны когерентные образования в диссипативных неравновесных средах — диссипативные структуры и автоволны. Примерами таких автоволн и диссипативных структур служат волны горения, импульсы возбуждения в нервных и мышечных волокнах, пространственно-временное изменение численности в популяциях организмов, концентрационные волны в автокаталитических химических реакциях. Основная особенность этих пространственно-временных структур заключается в том, что они слабо зависят от свойств источника неравновесности, граничных условий и начального состояния среды. Диссипативные структуры в неравновесных средах сейчас представляют собой чрезвычайно привлекательный объект исследования как одна из наиболее типичных и естественных форм самоорганизации.

Конечно, в рамках одной книги, в которой обсуждению последних результатов предшествует подробное изложение классической теории, невозможно познакомить читателя с современной теорией колебаний и волн (в особенности нелинейной) в полной мере. Мы, однако, надеемся, что заключительные главы книги послужат введением в эту чрезвычайно увлекательную область науки.