Глава 21. Автоколебания в распределенных системах
21.1. Общие замечания
Распределенные автоколебательные системы чрезвычайно распространены в природе и технике [13]. К ним относятся оптические квантовые генераторы (лазеры), важнейшие функциональные системы живого организма (системы кровообращения, дыхания, речи), духовые и струнные музыкальные инструменты, переменные звезды (цефеиды), автокаталитические химические реакции. Автоколебательный характер имеют некоторые процессы, связанные с сосуществованием различных биологических видов [1]. В СВЧ-электронике типичными распределенными автоколебательными системами являются генераторы обратной волны и ряд других черенковских (в том числе релятивистских) генераторов.
Как мы уже знаем (см. гл. 14), автоколебательной является всякая неконсервативная система, в которой в результате развития неустойчивостей возможно установление незатухающих волновых или колебательных движений, параметры которых определяются самой системой и не зависят от конечного изменения начальных условий.
Рис. 21.1. Примеры длинных линий — моделей активных сред: а — линия без дисперсии; 
— линия с высокочастотными линейными потерями и тем же током 
Рассмотрим на конкретном примере возникновение и ограничение неустойчивости в распределенной автоколебательной системе. Моделью среды с усилением может служить линия, представленная на рис. 21.1 а. Если среда активна (т. е. 
, где проводимость 
достаточно велика), но линейна, то любое поданное на вход возмущение будет нарастать. Однако при достаточно больших амплитудах обязательно вступит в действие один из механизмов ограничения: проявится нелинейность
проводимости или емкости, эффект усиления сменится эффектом искажения и ограничения. Например, активная нелинейная среда, для которой 
при малых амплитудах представляет собой усилитель (проводимость отрицательна, т. е. 
), а при больших — это среда с нелинейным поглощением 
Здесь механизм ограничения — нелинейное затухание.
Для одномерных задач можно надеяться на построение более или менее полной теории автоколебаний, если учесть, что характер протекающих в неравновесных средах нелинейных волновых процессов определяется конечным числом комбинаций таких характеристик среды, как дисперсия, нелинейность, диссипация. Именно это обстоятельство позволяет единообразно подойти к описанию нелинейных волн в неравновесных средах и на основе рассмотрения небольшого числа основных (модельных) задач попытаться воссоздать более или менее общую картину волновых явлений в таких средах.
Нелинейные бегущие волны в активных средах можно описывать в рамках уже знакомого нам одноволнового приближения, когда ввиду малости нелинейности удается ограничиться рассмотрением волновых возмущений лишь одного вида.
Рассмотрим несколько типовых задач, в каждой из которых попытаемся последовать действие нелинейности, диссипации и дисперсии поочередно. Учтем сначала только нелинейность среды, эквивалентная схема которой дана на рис. 21.1 а. Уравнение для волн в такой линии без дисперсии с нелинейным активным заполнением имеет вид
Если в линии существенны высокочастотные линейные потери (рис. 21.16), учет их приводит к уравнению следующего вида:
Если учесть еще и реактивную нелинейность (для простоты — квадратичную), то уравнение приобретет наиболее общий вид:
Рассмотрим теперь каждый из этих случаев.
