23.4. Идеальные течения и турбулентность

Обсуждавшиеся до сих пор примеры убеждают нас, что переход от ламинарного течения к турбулентному происходит при увеличении числа Рейнольдса (числа Тейлора или Рэлея соответственно для течения с вращением и конвекции) или, что эквивалентно, при уменьшении вязкости. В то же время практически невязкие течения

могут быть ламинарными, превращаясь, однако, в турбулентные при изменении какого-либо параметра или внешнего возмущения, даже регулярного.

В строгом смысле турбулентности, т. е. стохастических автоколебаний, в идеальной жидкости быть не может: из-за отсутствия диссипации в фазовом пространстве течения невозможно существование притягивающих множеств (аттракторов). Однако исследование стохастических идеальных течений представляет безусловный интерес, поскольку некоторые их свойства, в частности реакция на внешние возмущения, моделируют реальные течения при больших числах Рейнольдса.

Подчеркнем, что течения с очень легко переходят в турбулентный режим — для этого достаточно малого возмущения течения, которое может быть результатом взаимодействия с другими течениями либо с внешними полями.

Рассмотрим в качестве примера взаимодействие двумерного сдвигового течения с акустической волной. В отсутствие вязкости движение жидкости описывается уравнениями

где — плотность жидкости, — давление, — скорость. Первое из этих уравнении выражает условие неразрывности, а второе — закон сохранения количества движения элемента жидкости (уравнение Эйлера). При отыскании решений полную скорость удобно представить в виде суммы двух скоростей: где

Физический смысл этого представления легко понять, рассмотрев два предельных случая: . В первом из них уравнения (23.4) описывают течение несжимаемой жидкости, а во втором — акустическое поле. Если одновременно не равны нулю, но малы, то взаимодействие акустического и гидродинамического полей скоростей слабое, и его можно учесть методом последовательных приближений.

Ограничимся одной из простейших моделей гидродинамического течения — периодической цепочкой точечных вихрей. Подобные цепочки моделируют периодические распределения завихренности, возникающие в сдвиговых слоях в результате развития неустойчивостей [21]. Такая цепочка в свою очередь неустойчива, при этом наибольшим инкрементом обладают возмущения удвоенного периода. Эти возмущения приводят к тому, что образуются две цепочки, двигающиеся друг относительно друга. Воспользовавшись хорошо известными результатами

теории точечных вихрей [22], можно получить уравнения, описывающие это движение:

Здесь мы перешли к безразмерным переменным которые пропорциональны компонентам вектора, соединяющего выбранную пару вихрей из двух цепочек, — интенсивность одного вихря, I — период невозмущенной цепочки, Н — пока произвольный параметр.

Нелинейная система (23.5) — гамильтонова с интегралом и, следовательно, в ней возможны только простые движения. Приравняв постоянную Н этому интегралу, движение одной дорожки в поле другой (при можно описать уравнением комплексного маятника

где Для вывода этого уравнения следует умножить второе уравнение (23.5) на продифференцировать оба уравнения по и сложить. Решение (23.6) записывается в виде

где — функции Якоби; фаза определяется из начальных условий; соответствуют движениям вне сепаратрисы, внутри сепаратрисы и на сепаратрисе. Таким образом, рассматриваемое сдвиговое течение в газе описывается вполне интегрируемой системой уравнений и демонстрирует очень простую динамику — вихревые дорожки либо крутятся относительно друг друга (взаимный захват), либо скользят в противоположные стороны (при (фазовый портрет на рис. 23.8).

Учтем теперь слабое взаимодействие рассмотренных колебаний сдвигового течения с распространяющимися нормально к слою сдвига акустическими волнами. Рассмотрим простейшую ситуацию, когда звуковую волну можно считать гармонический и заданной: Тогда в приближении малости пространственного периода цепочки по сравнению с длиной звуковой волны

Рис. 23.8. Случайное блуждание траектории истемы (23.8), (23.9) вблизи сепаратрис; точки на секущей плоскости получены через период внешнего поля

и малости амплитуды звуковой волны — скорость звука, М — число Маха) движение одной вихревой цепочки в поле другой будет определяться еще и скоростью относительного движения цепочек в поле акустической волны [23]:

где . Итак, мы пришли к задаче о движения нелинейного осциллятора (23.6), на который действует периодическое поле. Такие задачи мы уже обсуждали (см. гл. 15 и 22) — в фазовом пространстве подобных систем возможно существование областей со сложным поведением траекторий. Сложность движения в этих областях обычно связана с гомоклиническими структурами (см. гл. 15). Существование гомоклинической структуры в нашем случае может быть определено с помощью критерия Мельникова, т. е. из условия знакопеременности

функции

где — правые части системы (23.8), переписанной в виде

— решение системы (23.8) при соответствующее сепаратрисе . После подстановки в выражения (23.7) и интегрирования находим (при не слишком больших

Таким образом, в нашем случае функция знакопеременная, и в фазовом пространстве (23.8), (23.9) существует область со стохастическим поведением. Ширина стохастического слоя (на секущей определяется величиной которая максимальна при (вблизи седла размеры стохастической области пропорциональны (рис. 23.8)).

В заключение этого раздела заметим, что в системе точечных вихрей, моделирующей двумерное течение идеальной жидкости, стохастичность возникает и при отсутствии внешних полей. Стохастизуется, например, система уже из четырех вихрей, если их взаимное расположение несимметрично [24].