20.5. Взаимодействие друг с другом волн, имеющих случайно модулированные фазы. Кинетика волн

В общем случае при взаимодействии квазигармонических волн в слабонелинейных средах изменения амплитуд и фаз волн могут осуществляться на существенно различных характерных временах. Например, мы уже видели, что при взрывной неустойчивости фазы волн быстро синхронизуются, после чего их разность можно считать практически постоянной и на этом фоне рассматривать нелинейную эволюцию амплитуд (см. гл. 17). Как мы не раз убеждались, разделение движении на быстрые и медленные позволяет при исследовании многих явлений продвинуться достаточно далеко без применения численных методов (вспомним метод разрывных колебаний, асимптотические методы, базирующиеся на медленности изменения параметров волн и последующем усреднении, и т. д.).

Рассмотрим сейчас с этой точки зрения элементарный процесс резонансного взаимодействия волн: распадное взаимодействие трех волн в среде с квадратичной нелинейностью, для реализации которого требуется выполнение условии синхронизма

Как мы видели в гл. 17, чтобы взаимодействие было эффективным, расстройка должна быть малой; при увеличении расстройки волны обмениваются друг с другом все меньшей долей запасенной в них энергии (см. рис. 17.7). В предельном случае расстроек, больших по сравнению с нелинейностью, пропорциональной ста, разность фаз взаимодействующих волн быстро изменяется во времени. В уравнении для Ф появляется большая величина по сравнению с которой можно пренебречь нелинейными слагаемыми (т. е. Ф и ), поэтому движения разделяются на быстрые и медленные. Тогда, усредняя уравнения для амплитуд по быстровращающейся фазе Ф, мы получаем, что , т. е. взаимодействие отсутствует. Ответ правильный, если Однако если расстройка, достигая время от времени

больших значении, в среднем остается близкой к нулю, то взаимодействие должно быть тем не менее эффективным (хотя и медленным), несмотря на быстрые пульсации фаз.

Прежде чем мы убедимся в этом, заметим, что подобная ситуация в физике нелинейных волн встречается довольно часто [35-44]. Случайные неоднородности среды, флуктуации ее параметров во времени, действие внешних нерегулярных нолей — вот основные факторы, приводящие к «дрейфу» собственных частот взаимодействующих волн во времени или пространстве. Такой «дрейф» возможен и в случае, когда волны, образующие резонансный триплет, участвуют в большом числе других взаимодействий, влияние которых на исходный процесс можно грубо представить себе как действие эффективного внешнего поля. В этом случае приближение хаотических фаз допускает некоторое обоснование, опирающееся на возможность хаотизации индивидуальной ангармонической волны под действием регулярных внешних полей (см. [42] и гл. 22). Конечно, случайные пульсации параметров среды во времени или в пространстве приводят и к флуктуациям амплитуд волн (хотя бы потому, что энергия поля на избранной частоте несколько перераспределяется в пространстве), однако поскольку энергия волн в среднем не меняется, эти перераспределения энергии по волновому пакету должны быть невелики. Изменения же фазы ничем не ограничены. Например, из-за малой флуктуации групповой скорости, приведшей к сдвигу волны лишь на фаза уже меняется на

Опираясь на эти соображения, рассмотрим характер взаимодействия трех волн (17.30), полагая их амплитуды медленно меняющимися, а фазы — быстроменяющимися функциями времени. При уравнения (17.30) принимают вид:

Запишем эти уравнения для квадратов амплитуд

Если бы фазы были полностью некоррелированы, волны бы не взаимодействовали и их амплитуды сохранились бы равными начальным амплитудам Из-за частичной корреляции фаз воли слабое взаимодействие все-таки есть, поэтому к невозмущенным амплитудам (здесь — медленные функции времени по сравнению

с следует добавить малую поправку порождаемую другими волнами:

Вычисляя из исходных уравнений (17.30 a) в приближении заданных полей двух других волн, в первом порядке по взаимодействию (т. е. по ) находим

где — большое отрицательное время, когда включилось взаимодействие (т. е. при ). При интегрировании по быстрому времени медленные переменные можно вынести из-под интеграла. Подставляя теперь (20.20), (20.27) в (20.25) и ограничиваясь первым, не исчезающим при усреднении по фазам приближением, получаем

Здесь угловые скобки означают усреднение по фазам. Полагая и интегрируя по частям, можно показать, что где — время корреляции функции Таким образом, уравнения, описывающие изменения интенсивностей трех резонансно взаимодействующих волн в приближении хаотических фаз,

имеют вид

где . Из этих уравнений по-прежнему следуют соотношения Мэнли-Роу: , однако характер взаимодействия совершенно иной, чем в случае динамических фаз. При заданном уровне суммарной энергии взаимодействующих волн (она, очевидно, сохраняется) (20.29) имеют единственное состояние равновесия , которое устойчиво (убедитесь в этом самостоятельно). Следовательно, при в нашей системе независимо от начальных условий устанавливается состояние с равным распределением энергии по степеням свободы (рис. 20.10)

Рис. 20.10. Установление равновесного состояния при взаимодействии трех волн со случайно модулированными фазами

Такое равновесное распределение соответствует известному закону Рэлея-Джинса (см. [40]). Если условия синхронизма выполнены сразу для многих троек волн, то вместо (20.29), суммируя по всем возможным резонансам типа будем иметь [36, 38]

Здесь — коэффициент, определяющий нелинейное взаимодействие трех волн с водными числами —

дельта-функция, которая из всех троек волн, для которых выполнены условия резонанса частот, отбирает только те, для которых выполнены и условия резонанса волновых чисел. Это уравнение получено для волн, закон дисперсии которых определен в области как положительных, так и отрицательных частот, причем предполагаются выполненными условия

Как видно, равновесный спектр и при произвольном числе троек волн будет характеризоваться равнораспределением энергии по степеням свободы. Уравнение (20.31) имеет решение легко проверить прямой подстановкой с последующим использованием соотношения

Уравнения типа (20.31) называют кинетическими уравнениями для волн. Первое слагаемое в круглых скобках описывает процесс слияния квазичастиц с импульсами к и , т. е. рождение квазичастиц с импульсом к, вторые два — их уничтожение, за счет распада на квазичастицы с импульсами к и Впервые такие уравнения были получены Пайерлсом для описания «газа» фононов — акустических волн в твердом теле (диэлектрике) [41].

Во многих случаях, как, например, для волн на поверхности жидкости [36, 37], закон дисперсии волн таков, что условия трехчастотного взаимодействия не выполнены. В этом случае говорят, что спектр нераспадный. Тогда основным процессом, определяющим характер нелинейных волновых явлений в слабонелинейной среде, будет четырехквантовый процесс типа либо . В приближении хаотических фаз волн для его описания, повторяя операции, проделанные при выводе (20.29) (исходными здесь будут уравнения типа можно получить кинетическое уравнение

Здесь спектр волн предполагается непрерывным — плотность числа квантов в спектральном интервале от к до к . Опять прямая подстановка показывает, что равновесному состоянию соответствует спектр Рэлея-Джинса, т. е. равновесное спектральное распределение в ансамбле из большого числа квазичастиц не зависит от характера взаимодействия (столкновений) между ними, в результате которого это равновесие устанавливается.

Рис. 20.11. Спектр слабой турбулентости: 1 — область источника, 2 — поток энергии в инерционном интервале, 3 — область стока

Если среда диссипативна, то существование в ней незатухающих волновых движений возможно лишь при условии, что траты волновой энергии компенсируются внешним источником. Во многих случаях (например, при возбуждении гравитационных волн на поверхности воды ветром [36]) энергия вкладывается в систему взаимодействующих волн и затем отбирается от нее за счет диссипации в существенно отдаленных друг от друга в спектральном пространстве областях (рис. 20.11). Поток энергии из области источника в область стока энергии осуществляется через инерционный интервал (спектральную область, где и источники, и стоки энергии отсутствуют) за счет взаимодействия волн различных масштабов друг с другом. Если фазы волн в результате взаимодействия хаотизируются, то такой ансамбль волн со случайными фазами в диссипативной среде, поддерживаемый внешними источниками энергии, называют слабой волновой турбулентностью [36-38].

Слабая волновая турбулентность описывается с помощью кинетического уравнения для волн

которое представляет собой уравнение баланса квазичастиц: описывает приток энергии в систему, а — ее потерю. Если приток энергии связан с неустойчивостью, то сток энергии — это обычно потери из-за трения, вязкости (например, для волн на поверхности воды — это интеграл столкновений, учитывающий взаимодействие между волнами в приближении хаотических фаз.

Для трехволновых взаимодействий он совпадает с правой частью (20.31), а для четырехволновых — с правой частью (20.32).

В инерционном интервале, который в спектральном -пространстве расположен между областями источника и стока, стационарное решение кинетического уравнения — спектр слабой волновой турбулентности — определяется лишь интегралом столкновений, влияние же области источника и стока энергии можно учесть как граничные условия. Таким образом, задача о нахождении спектров турбулентности

сводится к нахождению распределений обращающих в нуль интеграл столкновений. Одно из решений уравнения мы уже знаем — это распределение Рэлея-Джинса. Оно, однако, соответствует ситуации, когда нет потока энергии из области источника в область стока, т. е. система равновесна. Ненулевым значениям потока энергии через инерционный интервал отвечают универсальные степенные распределения типа . В настоящее время разработаны универсальные способы решения уравнения (20.33), с которыми читатель может ознакомиться, прочитав обзор [36].