24.2. Бегущие импульсы

Распространяющийся уединенный фронт — волна переключения — осуществляет перевод среды из одного состояния в другое. После прохождения импульса среда возвращается в исходное состояние. Для одномерных сред такому импульсу соответствует (как и солитону) петля сепаратрисы в фазовом пространстве системы, описывающей стационарные волны (рис. 24.26).

Приведем простой пример. В активной линии передачи с туннельными диодами нестационарные процессы в одноволновом приближении описываются уравнением

Здесь предполагается, что рабочая точка туннельных диодов расположена на максимуме вольт-амперной характеристики и эту характеристику можно аппроксимировать параболической зависимостью. Отыскивая решения в виде стационарных волн, зависящих лишь от бегущей координаты получаем для них уравнение нелинейного осциллятора с трением:

Отсюда сразу следует, что бегущие импульсы могут распространяться лишь со скоростью линейных возмущений (это следствие того, что мы рассматриваем диссипативную среду без дисперсии). Решение, соответствующее граничным условиям при имеет вид солитона:

Это так называемый диссипативный солитон. Диссипативные солитоны наблюдаются и в двумерных неравновесных средах, например, на

стекающей пленке вязкой жидкости. Для отклонения поверхности пленки от невозмущенного уровня можно получить приближенное уравнение [24], которое описывает изменение толщины пленки стекающей по плоскости, наклоненной под углом а вдоль оси х:

Здесь — невозмущенная толщина пленки, характеризует невозмущенную скорость течения, — коэффициент вязкости, — число Рейнольдса, , а — коэффициент поверхностного натяжения. Это уравнение справедливо при — характерный размер возмущения). Как видно, возмущения развиваются при Нелинейную стадию развития возмущения аналитически проследить не удается. Численные решения показывают, что в рассматриваемой модели существуют стационарные решения в виде одномерных солитонов, которые, однако, неустойчивы и распадаются на подковообразные уединенные волны (рис. 24.3). Именно такие солитоны и наблюдаются экспериментально на стекающей пленке вязкой жидкости. Численное решение этого уравнения с граничными условиями при представлено на рис. 24.3. Оно имеет вид подковообразного солитона с осциллирующим передним фронтом и спадающим задним.

Рис. 24.3. Солитон на стекающей пленке жидкости [25]

Образования в виде бегущих импульсов типичны для многих активных сред с восстановлением, т. е. сред, свойства проводимости

которых восстанавливаются после прохождения возбуждения спустя конечное время, так называемое время рефрактерности. Весьма общей моделью таких сред является двухкомпонентная модель:

Такие уравнения описывают, например, возбуждение сердечной мышцы (тогда и — разность потенциалов на мембране клеток, трансмембранная проводимость) или эволюцию возмущений в нейронной сети, состоящей из возбуждающих и тормозных клеток — нейронов [14].

Аналитическое исследование бегущих импульсов в рамках моделей типа (24.11) удается лишь в отдельных случаях, в частности, когда характерные времена изменения переменных и и существенно различны. При этом импульс можно разбить на участки быстрого и медленного изменения и воспользоваться для анализа методом разрывных колебаний (см. гл. 14). Проиллюстрируем это на примере одномерной двухкомпонентной среды, уравнения которой явно содержат малый параметр при производной:

В области быстрого изменения переменных величину и можно считать постоянной, т. е. области импульса, в которых происходит резкое изменение и, описываются уравнением

с которым мы встречались при анализе распространения фронта — волн переключения Таким образом, при наличии малого параметра бегущий импульс можно рассматривать как две распространяющиеся друг за другом волны переключения. Переключением и управляет при этом медленно изменяющаяся величина — в одной области определения и происходит прямое, а в другой — обратное переключение . Для определения границ этих областей необходимо конкретизировать вид функций [15, 7]. В промежутке между передним и задним фронтом импульса происходит медленное изменение переменной за которым «следит» быстрая переменная и.