21.4. Существование и роль предельных циклов

Если нелинейность кубична, т. е. то для стационарных волн будем иметь

откуда видно, что периодические волны существуют лишь при при при Фазовые портреты, соответствующие стационарным волнам, здесь уже будут традиционно автоколебательными — с предельным циклом, физическое различие свойств стационарных волн в средах с реактивной кубичной и квадратичной нелинейностью объясняется тем, что в среде с кубичной нелинейностью скорость образующих нелинейную периодическую волну гармоник зависит от их амплитуды (эффект самовоздействия), и, следовательно, скорость нелинейной волны должна отличаться от линейной . Если скорости гармоник, образующих стационарную волну, различны уже в линейном приближении (из-за влияния дисперсии), то периодическим стационарным волнам также должны соответствовать предельные циклы.

Например, в активном волноводе или в линии передачи с туннельными диодами, описываемых при учете дисперсии в области высоких частот уравнением

где для стационарных волн имеем

Это уравнение уже учитывает существование встречных волн в среде с дисперсией. При это уравнение Ван-дер-Поля, имеющее единственный предельный цикл, который и соответствует автоколебаниям в виде периодических стационарных волн. Видно, что при эти волны будут релаксационными (на фазовой плоскости разрывный цикл). При слабой дисперсии это условие выполнено при всех , т. е. релаксационными будут и медленные (короткие), и быстрые (длинные) волны — длина стационарной волны). Если же дисперсия сильная, то складывается чрезвычайно интересная ситуация: в одной и той же среде возможно существование и синусоидальных и релаксационных стационарных волн. Физически такая особенность объясняется довольно просто — дисперсия в данном случае проявляется лишь в области малых масштабов (т. е. для медленных волн), в результате чего быстрые волны ведут себя, по существу, так же, как в нелинейной среде без дисперсии.

Таким образом, автоколебаниям в виде стационарных волн в фазовом пространстве системы, описывающей стационарные движения, соответствуют предельные циклы только в тех случаях, когда активная среда обладает дисперсией (линейной или нелинейной ).

В общем случае устойчивость или неустойчивость такого цикла не означает устойчивость или неустойчивость соответствующей ему периодической стационарной волны. Дело в том, что в рамках уравнений для стационарных волн не могут быть описаны реальные возмущения, эволюционизирующие во времени. Непериодические стационарные волны, соответствующие уходящим или приходящим к циклу траекториям, заданы во всем пространстве от до и не могут реализоваться в ограниченной системе. Однако в отдельных случаях связь между устойчивостью предельного цикла и периодической волны все-таки можно проследить. Например, если в фазовом пространстве стационарных волн при продольный цикл неустойчив, то неустойчива и периодическая стационарная волна (при — это ужо не волна, а колебание).