13.2. Качественное и аналитическое описание. Примеры нелинейных систем

Подобно тому как «линейную» часть книги мы начали с обсуждения линейного осциллятора, эту часть начнем с исследования нелинейного осциллятора, уравнение которого имеет вид

Если — линейная функция, то это — линейный осциллятор (см. гл. 1). Какие физические задачи приводят к уравнению (13.1), если — нелинейная функция?

Уравнение (13.1) описывает, например, колебательный контур, катушка индуктивности которого содержит ферритовый сердечник, что приводит к нелинейной зависимости магнитного потока Ф от тока I (рис. 13.1 а). Нелинейность в контуре может быть связана и с емкостью, если заряд нелинейно зависит от напряжения На рис. 13.16 — емкость -перехода или конденсатор с сегнетоэлектриком. В механике — это, в частности, шарик, катающийся по

желобу (рис. 13.1 в). То, что такой шарик — осциллятор, сомнений нет. Вопрос только в том, в каком случае это линейный осциллятор, а в каком нелинейный?

Рис. 13.1. Примеры нелинейных осцилляторов: а — колебательный контур, катушка индуктивности которого содержит ферритовый сердечник колебательный контур, емкость которого содержит сегнетоэлектрик в — шарик в желобе заряженная частица в периодическом электрическом поле продольной волны (1 — пролетная частица, 2 — «захваченная» частица, — потенциал поля, х — продольная координата)

Уравнение движения шарика с массой имеет вид

или

Здесь — ускорение свободного падения. В общем виде уравнение (13.2) можно переписать следующим образом:

Когда (потенциальная яма имеет параболический профиль), наш осциллятор линейный. Обратим внимание на важное обстоятельство: форма потенциальной кривой не совпадает с профилем желоба на плоскости . Если, например, уравнение желоба то , а из соотношения следует, что

Это уже не параболическая зависимость для потенциальной энергии, как в случае линейного осциллятора.

Уравнение (13.3) легко интегрируется. Если ввести то

Тогда получаем где — полная энергия нелинейного осциллятора, — его потенциальная энергия.

Представить полную качественную картину движений нелинейного осциллятора (консервативной нелинейной системы с одной степенью свободы) можно, по существу, не решая конкретной задачи, просто по виду его фазового портрета. Из записанного выше выражения для закона сохранения энергии скорость выражается так:

Это фактически уравнение траекторий на фазовой плоскости для нашей модели: поскольку энергия сохраняется, мы можем задать при , если известна легко найти х и нарисовать фазовые траектории (рис. 13.2). Движений с малой начальной энергией попросту не существует, величина х получается мнимой.

Начальному уровню энергии соответствует движение на участках где определяются из условия Фазовые траектории, соответствующие такому движению, обозначены на рис. 13.2 цифрой 2. Точкам, в которых соответствуют состояния равновесия. Меняя начальные значения энергии, можно построить все траектории на фазовой плоскости.

Таким образом, движение нелинейного осциллятора полностью определяется начальной энергией. Колебания малой амплитуды будут гармоническими. С ростом энергии колебания становятся все более отличными от гармонических — в периодическом движении большую часть периода занимают медленные участки, соответствующие взбеганию шарика на вершину горки и началу спуска с нее (рис. 13.2). Наконец, при начальной энергии движение шарика перестает быть периодическим (на фазовой плоскости рис. 13.2 оно изображается сепаратрисой). Проведенный анализ позволяет сделать очень важное заключение: движение нелинейного осциллятора неизохронно — частота его колебаний зависит от энергии. Для финитного движения можно из (13.4) определить период колебаний в виде

Рис. 13.2. Зависимость потенциальной энергии и соответствующий этой зависимости фазовый портрет нелинейного осциллятора

Для движений, которым соответствует замкнутая траектория, не слишком близкая к сепаратрисе, можно сказать, что где А — амплитуда периодических колебаний. Рассмотрим подробнее ту часть фазовой плоскости, где расположены два состояния равновесия — седло и центр. Сепаратриса, выходящая из седла, возвращается в него же (в линейном приближении легко определить и наклон сепаратрис вблизи состояния равновесия). Сепаратрисную петлю, изображенную на рис. 13.3 а, называют двоякоасимптотической траекторией — она приходит к одному и тому же состоянию равновесия как при так и при Фазовый портрет на рис. 13.3 а построен для уравнения имеющего интеграл энергии Зависимость переменной от времени, соответствующая сепаратрисной петле (рис. 13.3 6), представляет собой одиночный импульс или, если уравнение (13.1) получено для описания стационарных волн (см. гл. 19),

солитон. Этот импульс имеет бесконечные «хвосты» — время движения вблизи состояния равновесия бесконечно возрастает. Действительно, в окрестности седла уравнение движения имеет вид или т. е. при система приближается к состоянию равновесия и удаляется от него с бесконечно малой скоростью и, следовательно, бесконечно долго.

Рис. 13.3. Фазовая плоскость (1 — овал соответствует периодическим колебаниям, близким к гармоническим; 3 — сепаратрисная петля соответствует солитону) (а), солитон с бесконечными «хвостами» (осциллограмма переменной х) длительностью и осциллограмма кноидального движения, соответствущего траектории

Как мы увидим дальше, особое решение, которому на фазовой плоскости соответствует петля сепаратрисы (рис. 13.3 а), вызывает большой интерес в теории нелинейных волн. Например, волны на поверхности «мелкой воды» приближенно можно описать уравнением Кортевега-де Вриза

Если интересоваться только волнами, бегущими с постоянной скоростью и не меняющими своего профиля: (стационарными волнами), то после подстановки можно получить из (13.6) уравнение нелинейного осциллятора, фазовая плоскость которого приведена на рис. 13.3 а.

Каково время движения по другим траекториям, например по траекториям типа 1 на рис. 13.3 а? Это — движение на дне потенциальной ямы, следовательно, это — почти линейные колебания, и их частота определяется из линеаризованной задачи. Для траекторий типа 2 на рис. 13.3 а, близких к сепаратрисе, зависимость приведена на рис. 13.3 в. В том случае, если в т. е. наш осциллятор — это просто маятник, получается известное точное решение, выражающееся через эллиптический интеграл [3].

Рассмотрим еще один пример — поведение электрона в периодическом электрическом поле продольной волны (рис. 13.1 г). Пусть потенциал поля изменяется по закону Проще всего описать движение электрона, написав уравнение движения в системе координат, связанных с волной. Тогда потенциал и искомое уравнение имеет вид

Фазовый портрет, соответствующий (13.7), приведен на рис. 13.4. Если пустить электрон в такое поле с достаточно большой скоростью, то он не «захватывается» волной и бежит вдоль нее, испытывая лишь колебания скорости.

Рис. 13.4. Фазовый портрет нелинейного осциллятора, описывающего движения захваченных частиц (траектории типа 2) и пролетных частиц (траектории типа 1) в поле волны (см. рис. 13.1 г)

Таким «пролетным» частицам соответствуют траектории типа 1 на рис. 13.4. Если же начальная скорость меньше некоторой критической, определяемой из соотношения то электрон попадет в потенциальную яму и будет там колебаться. Таким колебательным движениям на рис. 13.4 соответствуют траектории типа 2. Интересно, что уравнение (13.7) является асимптотическим уравнением движения электрона в элементарной теории лазера на свободных электронах с высоко добротным резонатором типа Фабри-Перо в условиях, когда амплитуду волны можно считать постоянной [4] (см. гл. 11).

Как мы видели, одно из основных свойств нелинейного осциллятора — это его неизохронность. Влияет ли неизохронность на устойчивость движения? Очевидно, да — две соседние точки на близких

траекториях со временем разойдутся по фазам, т. е. устойчивости по Ляпунову уже нет, однако орбитальная устойчивость для траекторий типа 1 и 2 сохраняется (это видно из фазового портрета). Вблизи сепаратрисы, как легко видеть, нет и орбитальной устойчивости.

Система, которую мы рассматриваем, консервативна. В общем случае установить факт принадлежности той или иной динамической системы, фазовое пространство которой представляет собой плоскость, к классу консервативных совсем не всегда так просто, как в предыдущих случаях. Консервативность — это сохранение энергии. Однако в системах, описывающих, например, химическую реакцию или сосуществование двух биологических видов, зачастую невозможно даже ввести энергию. Действительно, в обозначениях гл. 1 система уравнений (1.11)

описывающая «взаимоотношения» вегетарианцев и хищников, на первый взгляд кажется неконсервативной. В то же время фазовый портрет этого нелинейного осциллятора, представленный на рис. 13.5 а, 11 выглядит так же, как и у механических консервативных систем, — дело в том, что у системы есть интеграл движения

Таким образом, с точки зрения теории колебаний необходимым признаком консервативности двумерной системы мы должны считать существование однозначного интеграла движения вида

Можно построить поверхность , пересекая ее плоскостями получить при проецировании сечений на плоскость фазовый портрет (рис. 13.5 6). Легко убедиться, что в двумерной консервативной системе могут существовать лишь состояния равновесия типа «седло» и «центр».

Рассмотрим теперь поведение ансамбля из большого числа невзаимодействующих нелинейных осцилляторов. Это могут быть, например, электроны, движущиеся в поле продольной электрической волны (поведение ансамбля линейных осцилляторов мы рассматривали в гл. 3). Первые задачи подобного рода появились в конце 60-х годов в высокочастотной электронике при исследовании системы возбужденных нелинейных осцилляторов как классической активной среды для мазеров на циклотронном резонансе [5] и в физике плазмы, в частности, в связи с проблемами ускорения и нагрева заряженных частиц. Будем считать,

Рис. 13.5. Фазовый портрет нелинейного осциллятора, соответствующего экологической задаче о взаимодействии двух биологических видов — вегетарианцев и хищников (а) и к объяснению построения фазового портрета, если известен интеграл движения

что функция распределения электронов по скоростям в потоке известна и изображается кривой, приведенной на рис. 13.6. В системе координат, связанной с волной все частицы разделятся на захваченные и пролетные. Тем электронам, у которых скорости лежат в интервале с границами не хватает энергии, чтобы преодолеть потенциальный барьер и они колеблются в потенциальной яме волны; те же, у которых скорости лежат вне этого интервала, волну почти не замечают (см. рис. 13.4).

Рис. 13.6. Функция распределения электронов по скоростям: а — появление осцилляций в поле периодической продольной волны; образование плато; в — распределение электронов по скоростям в системе плазма-пучок

Каждый электрон в поле синусоидальной волны ведет себя как маятник:

Захваченным электронам соответствуют колебания маятника, а пролетным — вращения (см. рис. 13.4). Таким образом, частицы в поле

волны представляют собой ансамбль тождественных нелинейных осцилляторов, различающихся лишь начальными значениями энергий. Как будет вести себя ансамбль во времени? Все зависит от функции распределения электронов по энергиям или по скоростям — функции

Рис. 13.7. Эволюция фазового объема в ансамбле невзаимодействующих электронов-осцилляторов

Поскольку взаимодействие осцилляторов пока не учитывается, ответ на поставленный вопрос получить довольно просто, рассматривая движение осцилляторов на фазовой плоскости. Выберем начальный фазовый объем в виде области, ограниченной сепаратрисами на плоскости (рис. 13.7). Если то при большая часть захваченных частиц располагается в нижней половине области. Со временем из-за неизохронности осцилляторов эта область превратится в закрученную спираль, число витков которой непрерывно увеличивается. Следовательно, число частиц с разными скоростями будет непрерывно меняться, и функция распределения в интервале начнет пульсировать, становясь все более и более изрезанной (см. рис. 13.6 а). Через достаточно большое время все осцилляторы должны снова собраться в начальный фазовый объем, поскольку движение консервативной системы (13.8) из N осцилляторов обратимо. Физически, однако, очевидно, что, как бы долго мы не ждали, чуда не произойдет: из-за сколь угодно слабого взаимодействия частиц друг с другом и с волной частицы перемешаются, т. е. равномерно заполнят всю область внутри сепаратрис (эту область называют иногда «кошачьим глазом»). При этом число частиц, двигающихся быстрее волны станет равным числу частиц, двигающихся медленнее волны и на функции распределения образуется плато (см. рис. 13.6 б). Поскольку средняя кинетическая энергия частиц при таком перемешивании возрастает, синусоидальная

волна, в которой колеблются частицы, теряет часть своей энергии на ускорение частиц. Такую потерю энергии монохроматической волной называют нелинейным затуханием Ландау (см. [6]).

Если функция распределения частиц по скоростям неравновесна, как, например, в системе электронный пучок — плазма, то возможен и обратный процесс — усиление волны конечной амплитуды. Когда фазовая скорость волны попадает в интервал скоростей, соответствующих левому склону неравновесной функции распределения (см. рис. 13.6 е), то нарастающая в результате линейного усиления Ландау (медленных частиц, отбирающих у волны энергию, меньше, чем быстрых — отдающих) волна увеличивает свою амплитуду и захватывает пролетные частицы. Этот процесс усиления длится, очевидно, только до тех пор, пока числа быстрых и медленных частиц, соответствующих левому склону функции не выровняются и волна не превратится в нелинейную стационарную волну (квазилинейная релаксация). Таким образом, с течением времени происходит фазовое перемешивание осцилляторов и вместо осцилляции на функции распределения устанавливается плато. Время установления плато имеет порядок характерного времени движения частиц по замкнутым траекториям.

Более аккуратно время релаксации функции распределения осцилляторов по энергиям можно определить только из решения самосогласованной задачи, учитывая изменение амплитуды волны во времени. Соответствующие уравнения записываются в виде (см. [14])

где — амплитуда продольной волны;

К задаче о взаимодействии ансамбля осцилляторов с волной сводятся многие проблемы нелинейной теории гидродинамической устойчивости, в частности при нелинейном анализе возбуждения волн на поверхности воды ветром [14], в теории пограничного слоя [16] и др. Роль неравновесных частиц здесь играют частицы среды, движущиеся с различными скоростями. В отличие от приведенного выше примера с электронным пучком в плазме гидродинамическая задача об эволюции распределения частиц жидкости по скоростям в принципе не может быть одномерной — скорость в данной точке в классической гидродинамике определяется однозначно. Следовательно, если в поле одномерной волны (распространяющейся вдоль оси х) частицы среды

движутся с различными скоростями, то они должны быть разнесены по поперечной координате у. Поэтому простейшие задачи об эволюции функции распределения частиц жидкости по скоростям в поле гидродинамической волны — это задачи об эволюции профиля двумерных течений с поперечным сдвигом скорости [15].

Следует заметить, что процесс усиления волны конечной амплитуды в системе плазма-пучок был детально исследован сравнительно недавно [17].

В то же время в высокочастотной электронике такое усиление конечных сигналов в лампах бегущей волны было известно и всесторонне исследовано теоретически и экспериментально еще в 50-е годы [7-9]. На рис. 13.8 и 13.9 приведены фазовые диаграммы для работающей ЛБВ, рассчитанные теоретически и измеренные экспериментально. Теоретические диаграммы интересны тем, что можно определить не только фазовое положение «машинных» электронов относительно волны, но и их кинетическую энергию, что важно, скажем, при выборе способов повышения КПД ЛБВ. Номерами отмечены некоторые «машинные электроны». Разные безразмерные длины соответствуют разным значениям напряженности электрического высокочастотного поля: при скоростная модуляция ближе к синусоидальной, чем при (2, где образуется «завихрение». Уравнения, по которым проводился расчет на ЭВМ, соответствуют «невзаимодействующим» электронам — относительная скорость «машинных» электронов; — фаза «машинного» электрона, означающая его фазовое положение относительно волны при данном значении координаты — начальная фаза «машинного» электрона; I, II — области ускоряющего и тормозящего полей волны соответственно). Особенно интересен рис. 13.9. Исследованная К. Катлером (1956 г.) модель ЛБВ содержала анализатор скорости: на выходе из спирали электронный пучок проходил через скрещенные электрическое и магнитное поля и попадал на флуоресцирующий экран, на котором скорость электронов

Рис. 13.8. Теоретическая фазовая диаграмма лампы бегущей волны в режиме усиления конечных сигналов

Рис. 13.9. Вид экрана анализатора скоростей в работающей лампе бегущей волны. Нулевой кадр соответствует отсутствию высокочастотного сигнала. Амплитуда высокочастотного поля увеличивается с ростом номера кадра [9]

пропорциональная вертикальному отклонению, и плотность заряда, пропорциональная интенсивности свечения, измерялись в зависимости от фазы сигнала. Соответствующая обработка фотографий, снятых для работающей лампы, позволила построить диаграммы, подобные приведенным на рис. 13.8 [9]. Эксперимент проводился на уникальной в своем роде лампе длиной с диаметром пучка 2,54 см, при потенциале луча 400 В, на частоте 100 МГц.