9.2. Плотность энергии электромагнитного поля в среде с дисперсией

Известное выражение для плотности потока электромагнитной энергии справедливо и в среде с дисперсией [5, 6]. Из

уравнений Максвелла следует не менее известное уравнение

где Е и D — напряженность и смещение электрического поля, Н и В — напряженность и индукция магнитного поля.

Если дисперсий нет, т. е. проницаемости — действительные постоянные величины, то уравнение (9.19) выражает изменение плотности электромагнитной энергии в единице объема, т.е. При наличии диссипации плотность энергии тепловых потерь определяется мнимыми частями

где угловые скобки означают усреднение по времени.

Найдем 8, следуя [5]. Рассмотрим узкий волновой пакет, состоящий из монохроматических компонент с частотами вблизи некоторой т. е. узкий пакет с шириной спектра

(для D и В имеют место аналогичные выражения), где — медленно изменяющиеся по сравнению с функции времени. Подставим выражение для действительных частей напряженностей Е, Н, а также для D и В в (9.19), после чего усредним получившееся по периоду Очевидно, что быстро меняющиеся слагаемые типа при усреднении исчезнут, а останутся лишь слагаемые типа

(мы делаем все преобразования только с первым слагаемым в правой части . Представим производную в виде где оператор . Что получится, если подействовать этим оператором на Очевидно, что если (поле чисто гармоническое), то или где Разложим функцию в интеграл Фурье, что соответствует представлению ее группой монохроматических составляющих

Поскольку — медленно изменяющаяся функция времени, то в интеграл войдут лишь те составляющие, для которых Это позволяет написать следующее соотношение:

Легко видеть, что

Проинтегрируем (9.20) по в пределах от до что соответствует обратному преобразованию Фурье. Используя (9.21), находим

Опуская далее индекс получаем

Напомним, что Те области частот, в которых малы по сравнению с называются областями «прозрачности» среды (аналогично для магнитной проницаемости). В этих областях можно положить так что

Учитывая, что теперь имеем следующее соотношение для М:

Поскольку для магнитного поля все выкладки аналогичны, можем написать выражение для усредненной плотности энергии

Укажем еще на один простой способ получения энергетических соотношений в средах с временной и пространственной дисперсией, который основан на использовании дисперсионного уравнения системы [7, 8]. Рассмотрим одномерную волну где например, — скорость возмущения в потоке электронов. Пусть волна скорости возбуждается внешней волной (например, продольной электрической компонентой бегущей электромагнитной волны), которая и определяет значения шик. Амплитуды и определены так, чтобы средняя за период мощность взаимодействия возбужденной и внешней волн была пропорциональна . Если связаны линейным соотношением , где — аналитическая функция , то имеют место формулы: для усредненной по периоду энергии на единицу длины

и для усредненного по периоду потока энергии на единицу длины

В отсутствие внешнего воздействия где полная производная берется вдоль всей дисперсионной характеристики.

Предоставляем читателю самому доказать весьма полезные формулы (9.24) и (9.25). В качестве примера их применения рассмотрим

волны пространственного заряда в электронном потоке, исходя из уравнения для плотности сгруппированного тока при воздействии на поток внешней бегущей электромагнитной волны с продольной компонентой электрического поля Е (см. гл. 7). В предположении, что все переменные величины изменяются во времени по закону это уравнение имеет вид

— постоянная скорость пучка, . Если то из (9.26) имеем

т. е.

где — поперечное сечение пучка. Вид определяется тем, что средняя за период мощность взаимодействия электронного пучка с внешней бегущей волной равна При «снятии» внешнего воздействия , т.е. имеем две волны пространственного заряда в дрейфующем пучке — быструю и медленную Из формул (9.24), (9.25) и (9.28) находим

Если пучок бесконечно широкий и то и перенос энергии связан лишь с кинематическим движением пучка. Однако для пучка конечной толщины

т. е. распространение энергии определяется не только кинематикой пучка, но и вторыми членами в круглых скобках, имеющими электромагнитное происхождение. Полученные выражения (9.29) и (9.30) верны и в релятивистском случае, если в определении использовать продольную релятивистскую массу; они представляются полезными в теории шумов в электронных потоках. Интересно, что при для быстрой (индекс «б») и медленной (индекс «м») волн пространственного заряда из (9.29) и (9.30) имеем

т. е. быстрая волна потока имеет положительную энергию, а медленная — отрицательную. Волнам с отрицательной энергией мы посвятим следующую главу.