22.6. Размерность стохастических множеств

Как мы уже говорили в начале главы, размерность стохастического множества гамильтоновой системы совпадает с размерностью фазового пространства исходной системы. Размерность же стохастических аттракторов может быть существенно меньше размерности фазового пространства исследуемой диссипативной системы. Именно это проясняет ответ на вопрос: почему и очень простая система, например нелинейный осциллятор с трением, возбуждаемый периодической силой, и очень сложная, например гидродинамическое течение в ячейке (см. § 23.2), демонстрируют одни и те же свойства перехода.

Мы уже говорили, что на стохастическом множестве все траектории должны быть неустойчивы. Они не могут быть неустойчивы одновременно по всем направлениям — это приведет к безграничному росту объема, т. е. аттрактор перестанет быть аттрактором: располагающиеся внутри ограниченного фазового объема неустойчивые траектории могут быть только седловыми — они неустойчивы по одним направлениям и устойчивы по другим (причем эти направления вдоль траектории могут меняться). Скорость разбегания траектории по каждому из направлений характеризуется средним по траектории положительным ляпуновским показателем где — число неустойчивых направлений), скорость сближения траекторий — отрицательными показателями где — размерность фазового пространства). Напомним (см. гл. 15), что величина равна среднему по траектории значению где — расстояния от возмущенной траектории до исходной и моменты времени соответственно (рис. 22.22).

Рис. 22.22. К определению ляпуновского показателя седловая траектория, возмущенная траектория, устойчивое и неустойчивое многообразия)

Ввиду диссипативности системы

Расположим показатели в порядке убывания: . Тогда характеристику стохастического множества, называемую размерностью, определим так [30]: где определяется из равенства (очевидно, Величина называется дробной частью размерности аттрактора (и иногда называют фрактальной размерностью) [31].

Видно, что размерность странного аттрактора зависит не только от числа неустойчивых направлений, но и от суммарной скорости разбегания траекторий по ним.

С физической точки зрения представляется важным нахождение связи между размерностью стохастического множества и значением параметра, характеризующего степень неравновесности системы (например, числа Рейнольдса в гидродинамике). Однако пока что на этот счет имеются лишь предварительные, весьма завышенные оценки.

Если то фазовые траектории, образующие аттрактор, располагаются в тонком слое вблизи некоторой поверхности. При этом приближенно (пренебрегая толщиной аттрактора) движение на аттракторе можно описать с помощью одномерного отображения Пуанкаре, связывающего координату предыдущего пересечения принадлежащей аттрактору траектории с секущей поверхностью с координатой следующего пересечения . К числу аттракторов с принадлежит, в частности, аттрактор системы Лоренца. Именно поэтому все известные бифуркации и этой системе так хорошо описываются с помощью одномерных отображений.

Таким образом, любая диссипативная система, размерность стохастического множества которой больше или равна двум, должна демонстрировать переходы к стохастичности, которые описываются в

рамках одномерных отображений, независимо от размерности фазового пространства.

Величина D характеризует и близость странного аттрактора в слабодиссипативной системе к стохастическому множеству соответствующей гамильтоновой системы. Такая близость, в том числе и по статистическим характеристикам, имеет место, когда — размерность фазового пространства).

Приведем один пример. Рассмотрим стохастические автоколебания в параметрически возбуждаемом нелинейном осцилляторе [32]:

Здесь характеризует величину диссипации, — величину внешнего поля.

Рис. 22.23. Фазовые портреты стохастического множества уравнения (22.22) на секущей плоскости: а — странный аттрактор при — стохастическое множество соотвествующей гамильтоновой системы

Численное исследование этой системы удобно проводить с помощью построения отображения Пуанкаре точек секущий плоскости в себя через период (см. гл. 15). Напомним, что устойчивому периодическому движению с периодом на секущий плоскости соответствует точек. Стохастическому множеству в фазовом пространстве уравнения (22.22) на секущей плоскости отвечает сложное множество точек. При это — аттрактор. На рис. 22.23 представлены фазовые портреты на секущей одного из таких аттракторов (при ) и стохастического множества гамильтоновой системы Размерность аттрактора,

Рис. 22.24. Странный аттрактор системы (22.22), приближенно описываемый одномерным отображением

возникающего из стохастического множества гамильтоновой системы, и 3, чем и объясняется близость фазовых портретов на рис. 22.23 а.

В другом предельном случае странный аттрактор уравнения (22.22) приближенно описывается одномерным отображением [32] (рис. 22.24).