Часть I. КОЛЕБАНИЯ И ВОЛНЫ В ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМАХ

Глава 1. Линейный осциллятор

1.1. Общие замечания

Как мы знаем, для теории колебаний и груз на пружине, и колебательный контур — это один и тот же объект исследования. Оба они описываются известным дифференциальным уравнением и характеризуются одним и тем же фазовым пространством — плоскостью, разбитой на траектории семейством вложенных друг в друга эллипсов. Это вроде бы тривиально. «Но не тривиально то, что это тривиально», — говорил Л. И. Мандельштам, т. е. не тривиально, что эта аналогия между колебаниями груза на пружине и колебаниями заряда или тока в контуре является настолько далеко идущей, что она стала привычным способом рассуждения у физиков, несмотря на то, что сами явления относятся к двум различным областям [1]. Сказанному и соответствуют содержание и идеология данной главы, в которой обсуждаются свойства линейного осциллятора — основной модели линейной теории колебаний и волн.

Уравнение движения линейного осциллятора, описывающее его свободные колебания, имеет вид

Здесь х — смещение от положения равновесия для механических систем (например, координата грузика на пружине), заряд в электрических системах (например, заряд на пластинах конденсатора в колебательном контуре) или что-нибудь еще в зависимости от природы осциллятора; — параметр, характеризующий потери (трение, сопротивление и т.п.); — собственная частота осциллятора; — соответствующие производные по времени. Линейный

осциллятор — частный (но очень важный) пример линейных динамических систем, поведение которых описывается функциональным линейным уравнением где — линейный оператор (напомним, что если — решения уравнения то его решениями являются также комбинации , где постоянные). Уравнение (1.1) в явном виде не содержит зависимости от времени. Это результат того, что система, которую оно описывает, не испытывает действия переменных сил, и ее параметры постоянны во времени — система автономная. Если теперь предположить, что добротность системы бесконечна), то мы приходим к уравнению осциллятора, совершающего гармонические колебания:

Такой осциллятор называется консервативным, поскольку его энергия сохраняется во времени. Это утверждение легко доказать даже для более общего, чем (1.2), случая — случая нелинейного осциллятора:

Полная энергия системы (1.3) складывается из суммы кинетической и потенциальной энергий:

Зависимость потенциальной энергии от координаты

определяет поведение системы (1.3). Выбор знака в формуле для потенциальной энергии легко понять, если вычислить скажем, для уравнения (1.2): если то т. е. знак выбран так, чтобы потенциальная энергия маятника была тем больше, чем больше он отклонен. Дифференцируя (1.4) по времени, находим, что

Таким образом, не зависит от времени. Полная энергия сохраняется, т. е. колебательная система, соответствующая уравнению (1.3), консервативна.

Уравнения (1.3) и (1.2) — это обыкновенные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами. Они описывают системы с одной степенью свободы. Число степеней свободы вдвое меньше порядка дифференциального уравнения, описывающего систему [2]. Поэтому системе с одной степенью свободы соответствует двумерное фазовое пространство — поверхность, с полутора степенями свободы — трехмерное фазовое пространство, а системе с двумя степенями свободы — естественно, четырехмерное.