Глава 6. Устойчивость и неустойчивость линеаризованных систем с дискретным спектром

6.1. Общие замечания и определения

Термины «устойчивость» и «неустойчивость» сейчас имеют столь широкое хождение, что без дополнительных пояснений не всегда можно понять, о чем идет речь. Действительно, говорят об устойчивости системы вообще, об устойчивости ее вполне определенного движения (траектории или решения), об устойчивости равновесия и т.д. Да и сама устойчивость или неустойчивость может быть разной. Может быть устойчивость «в большом» — по отношению к произвольным возмущениям, «в малом» — определяемая свойствами линеаризованной задачи. Прилагательные при слове «неустойчивость» обычно характеризуют уже не столько математические ее особенности, сколько физические механизмы возникновения колебаний (или волн) — диссипативная неустойчивость, параметрическая, излучательная и т.д.

Мы здесь будем заниматься механизмами неустойчивостей и исследованием устойчивости движения «в малом», т. е. в рамках уравнений, полученных из исходных с помощью разложения в ряд вблизи интересующего нас решения всех нелинейных зависимостей и оставления лишь линейных членов (уже обсуждавшаяся процедура линеаризации). Наиболее важным является исследование устойчивости, во-первых, статического положения системы, т. е. состояния равновесия линеаризованной системы с постоянными коэффициентами, во-вторых, периодических движений системы, малые отклонения от которых описываются линеаризованными уравнениями с периодическими коэффициентами. Относительно же устойчивости линейных систем (а не их решений) дадим пока лишь не вполне строгое определение: динамическая система, описываемая коэффициентом передачи и находящаяся под внешним воздействием называется устойчивой, если малое изменение внешнего воздействия приводит к малому

изменению движения системы — координат X (их можно считать выходными координатами) (рис. 6.1). Для того чтобы это определение стало вполне строгим, нужно еще определить, в каком смысле мы понимаем малость возмущения, т. е. нужно определить понятие расстояния между исследуемым и возмущенным решениями (как говорят математики, определить метрику). Простейший способ определения расстояния это просто разность координат по модулю: Им чаще всего мы и будем пользоваться.

Рис. 6.1. К определению устойчивости: 1 — решение устойчиво; 2 — решение неустойчиво

Сформулируем теперь различные понятия устойчивости [1] для системы вида

В (6.1) предполагается, что существуют непрерывные производные и есть решение которое при удовлетворяет начальным условиям

Решение называется устойчивым по Ляпунову, если для любого существует такое что для всякого решения системы (6.1) из неравенств

при всех следуют неравенства

Иными словами, решения, близкие по начальным значениям, остаются близкими и при Если же при сколь угодно малом хотя бы для одного неравенство (6.3) не выполняется, то решение называется неустойчивым.

Часто используют понятие орбитной (или орбитальной) устойчивости. Оно отличается от устойчивости по Ляпунову тем, что из условия должно следовать лишь т. е. не требуется синхронности в движении по возмущенной и (невозмущенной траекториям. Здесь означает всю траекторию при Нужно лишь, чтобы возмущенное решение (пусть с отставанием или опережением) не выходило за пределы -окрестности невозмущенного. Если при расстояние между возмущенным и невозмущенным решениями стремится к нулю, то устойчивость называется асимптотической. Если же, кроме того, начиная с некоторого то она называется экспоненциальной.

Возвращаясь сейчас к определению устойчивости системы, можно добавить: система устойчива в малом, если ее состояние равновесия устойчиво по Ляпунову; система устойчива в большом, если устойчивость состояния равновесия имеет место для всей конечной области — шара

Говорят, что система абсолютно устойчива, если у нее лишь одно состояние равновесия, асимптотически устойчивое во всем фазовом пространстве; система глобально асимптотически устойчива, если любая ее траектория стремится к какому-нибудь состоянию равновесия. Заметим, что понятия, связанные с устойчивостью системы, наиболее широко употребляются в теории управления и теории автоматического регулирования [2].

Рассмотрим в качестве самого простого примера систему с 1/2 степени свободы — осциллятор с малой массой уравнение движения которого получается из уравнения движения линейного осциллятора — коэффициенты упругости и трения), если пренебречь его массой. Тогда имеем или

Решение уравнения (6.4), удовлетворяющее начальному условию имеет вид Исследуем на устойчивость решение используя введенные выше определения. Если то при выполняется неравенство

Рис. 6.2. Графическая интерпретация устойчивых и неустойчивых решений на примере осциллятора с малой массой заштрихованная область — область устойчивости; заштрихованная область — область асимптотической устойчивости в целом; в решения выходят за пределы -окрестности, заштрихованная область — область неустойчивости

для всех Таким образом, решение устойчиво при случае для любых поэтому решение экспоненциально устойчиво.

Когда то даже при сколь угодно малых решение (6.4) не удовлетворяет неравенству если велико: оно стремится к бесконечности для любых Таким образом, решение неустойчиво при (рис. 6.2).