17.2. Резонансное взаимодействие волн в слабонелинейных средах с дисперсией

Анализируя взаимодействие в системе трех связанных осцилляторов, мы уже упоминали, что в среде с дисперсией при слабой нелинейности три волны с фиксированной пространственной структурой будут взаимодействовать так же. Правда, условие резонанса должно выполняться теперь и для частот, и для волновых чисел. Однако в методе исследования многоволновых взаимодействий в среде с дисперсией есть свои особенности, которые требуют обсуждения.

Пусть в среде с дисперсией и малой нелинейностью распространяются волны с где связь определяется дисперсионным уравнением. В результате взаимодействия из-за нелинейности в среде возникает вынужденная комбинационная волна с частотой и волновым вектором Эта волна остается (порядка величины нелинейности), если не удовлетворяют дисперсионному уравнению и будет нарастать, если удовлетворяют уравнению или, в другой форме, когда

Эти соотношения можно рассматривать как условия резонанса частот и волновых векторов волн, необходимые для эффективности их взаимодействия. Их часто называют также условиями синхронизма, имея в виду, что фазовая скорость, комбинационной волны близка к фазовой скорости одной из собственных волн среды.

Если условия синхронизма выполняются для очень большого числа волн, то в результате взаимодействия форма волны уже будет далека от синусоидальной. Квазигармоническое приближение здесь не работает. Однако часто оказывается, что число взаимодействующих волн невелико. Такие задачи очень важны для нелинейной оптики, физики твердого тела, физики плазмы. Например, классической задачей нелинейной оптики является задача о вынужденном рассеянии Манделыптама-Бриллюэна [4, 5]: падающая на кристалл световая волна частоты вызывает модуляцию плотности среды (электрострикционный эффект), возникает акустическая волна частоты Происходит отражение света от появившихся неоднородностей, результатом чего является возникновение волны частоты распространяющейся в обратную сторону (см. рис. 17.1 г). Взаимодействие волн при этом в одномерном случае (световая волна с напряженностями электромагнитного

поля распространяется в направлении х) описывается следующей системой уравнений:

Первые два уравнения описывают изменение электромагнитного поля световой волны с учетом изменения диэлектрической проницаемости среды за счет наличия в ней возмущений плотности. Два последних определяют изменение плотности и скорости частиц и в звуковой волне с учетом пондеромоторных сил (возникающих из-за электрострикционного эффекта). Первое из них — уравнение неразрывности, второе — уравнение движения. Как решить систему (17.12), учитывая, что правые части уравнений, характеризующие нелинейные связи, малы? Поскольку даже при эффективном взаимодействии квазигармонических волн изменение их амплитуд и фаз вследствие малости нелинейности должно происходить медленно, для исследования естественно применить метод, так или иначе связанный с усреднением по временной и пространственной переменным (рекомендуем читателю при ознакомлении с материалом этого параграфа вспомнить § 17.1).

Рассмотрим общую схему построения такого метода, считая волны одномерными [12]. Пусть поле в слабонелинейной среде описывается системой уравнений вида

где А, В и С — квадратные матрицы, и -мерные вектор-функции, причем — полиномы по Для системы (17.12) компонентами вектора являются . При поле в среде является суперпозицией гармонических волн вида

где а — комплексная амплитуда, зависящая от начальных и граничных

условий, поляризационный вектор, определяемый системой

а связаны дисперсионным уравнением

Одну из компонент вектора всегда можно положить равной единице, тогда остальные находятся из системы (17.15). Будем рассматривать взаимодействие конечного числа волн вида (17.14), для которых выполнены условия синхронизма (17.11). (То обстоятельство, что условия синхронизма выполнены лишь для конечного числа волн, означает, что система обладает дисперсией.) При решение будем искать в виде

заранее предполагая, что амплитуда медленно изменяется в пространстве и во времени. Для того чтобы решение (17.17) было справедливым, надо, чтобы поправка не нарастала со временем. Подставляя решение в (17.13), получаем уравнение для в виде

где

Чтобы функция при любых x, t оставалась ограниченной, необходимо и достаточно, чтобы в правой части системы (17.18) отсутствовали резонансные члены, т. е. правая часть должна быть ортогональна собственным функциям линейной задачи. Так как нелинейность полиномиальна, правые части (17.18) являются периодическими функциями

по х и t, и их можно представить в виде ряда Фурье

Функции также представляются в виде

После подстановки (17.19) и (17.20) в (17.18) получим, приравнивая коэффициенты при экспонентах с одинаковыми показателями, неоднородную систему алгебраических уравнений для определения

откуда -компонента вектора записывается в виде

где — алгебраические дополнения элементов матрицы (см. уравнение (17.16)).

Если конец вектора не лежит на дисперсионной кривой, т. е. это не собственная волна системы, то и добавок ограничен. В противном случае будет секулярно нарастать. Чтобы этого не было, надо изъять из уравнения для добавка резонансный член. Математически это сводится к выполнению равенства

Так как где — собственные функции сопряженной с (17.15) системы, условие (17.21) можно записать в виде Это и есть условие ортогональности. Отсюда

с учетом (17.19) и (17.18) для комплексных амплитуд получим уравнения

где

Используя соотношения

запишем (17.22) в виде

Это и есть искомые уравнения для комплексных амплитуд взаимодействующих квазигармонических волн.

В качестве примера рассмотрим взаимодействие высокочастотных и низкочастотных электромагнитных волн в среде, дисперсионная характеристика которой изображена на рис. 17.1 в. Это среда, состоящая из осцилляторов с собственной частотой элемент объема которой характеризуется поляризуемостью При квадратичной нелинейности естественно в качестве элементарного процесса рассматривать взаимодействие трех волн. Условия синхронизма имеют вид

Уравнения для компонент электромагнитного поля и поляризации среды запишем в виде

. Дисперсионное уравнение системы (17.25) легко найти:

Положим . Тогда

где . Аналогично Будем искать решение в виде суммы волн:

Уравнения для комплексных амплитуд имеют вид

где

Зададим теперь конкретный вид нелинейных зависимостей, т. е. . Пусть

Если условия синхронизма выполнены не точно, то

где — частотная расстройка, а — расстройка от резонанса по волновому числу. Учитывая (17.26) и (17.28), получаем из уравнений (17.27) следующие укороченные уравнения:

где

Обратим внимание на то, что , а следовательно, и зависят только от квадратов частот и волновых чисел, т. е. имеют всегда одинаковый знак и являются действительными величинами. Зависимость определяет диссипативную нелинейность, в уравнениях (17.30) она связана с нелинейная зависимость определяет консервативную нелинейность и входит в те же уравнения коэффициентом

Рассмотрим несколько различных случаев.

1. Если предположить, что поля пространственно однородны, т. е. то взаимодействие волн описывается теми же уравнениями, что и колебания в системе трех связанных осцилляторов. Такое описание называется приближением заданной структуры поля. Мы знаем, что при в консервативной системе (т. е. при ) будет происходить обмен энергией между модами, если высокочастотная мода обладает большей начальной энергией. Если же синхронизм не точный, т. е. то при малых естественно предположить,

Рис. 17.6. К исследованию системы уравнений (17.30) в консервативном случае, когда приближение заданной структуры поля неполный обмен энергией между модами; б) усиление волн с частотами при подаче на вход нелинейной системы сигнала с частотой схема рассеяния назад при

что характер взаимодействия будет аналогичен, хотя, вероятно, полного обмена энергией уже не будет (рис. 17.6 а).

2. Пусть по-прежнему система консервативна, т. е. Предположим теперь, что процесс стационарный, т. е. Это уже принципиально волновая задача, так как мы рассматриваем взаимодействие волн в пространстве. В этом случае, как и в предыдущем, система (17.30) сводится к уравнениям в обыкновенных производных.

а) Если все в уравнениях (17.30) имеют один знак, т. е. все три волны распространяются в одну сторону, то задача сводится к предыдущей. Итак, если есть нелинейная консервативная среда (например, кристалл) и на границу такой среды мы подаем волну с частотой то при наличии флуктуаций возбудятся две другие волны с частотами причем их амплитуды и пространстве будут меняться, как показано на рис. 17.66. Таким образом, можно подобрать длину кристалла I так, чтобы на выходе получить низкочастотную волну с максимальной амплитудой.

б) Если же тогда волна с — это волна, рассеянная назад. При рассмотрении этого случая принципиально наличие границ (рис. 17.6 в).