Глава 20. Модулированные волны в нелинейных средах

20.1. Общие замечания

Практически всякие колебания и волны модулированы. Модуляция по определению есть медленное изменение параметров «несущей» — амплитуды, фазы, частоты и даже формы колебаний или волн. Она может быть связана с воздействием внешних сил или полей (вынужденная модуляция), а может возникать самопроизвольно в результате развития разного рода неустойчивостей (самомодуляция или автомодуляция). Мы уже знаем примеры и вынужденной модуляции, и самомодуляции. Изменение длины волны и амплитуды квазигармонической волны в плавно неоднородной среде — вынужденная модуляция, определяемая законом «модуляции» параметров среды в пространстве. Возникновение вне полосы синхронизации биений и автогенераторе, на который подается периодический сигнал, — пример модуляции, обязанной своим происхождением взаимодействию немодулированных колебаний. На плоскости медленных амплитуд такой модуляции соответствует, как мы видели, устойчивый предельный цикл. Модуляция, очевидно, возникает в результате взаимодействия осцилляторов и в консервативных системах и средах (см. гл. 17). Например, при выполнении условий резонанса этот процесс естественно назвать взаимной модуляцией; если же , то такой процесс распада пар квазичастиц на сателлиты — это самомодуляция.

Поскольку только модулированные колебания и волны могут переносить информацию, процесс «создания модуляции» и перенесения заданной модуляции на несущую чрезвычайно интересен для разнообразных приложений. В этой главе мы рассмотрим лишь процессы возникновения модуляции. В основном речь пойдет о модуляции волн, возникающей при их распространении и взаимодействии в нелинейных средах. Нелинейные явления и эффекты, связанные с модуляцией волн, очень разнообразны. Это самофокусировка волновых пучков [1, 25],

самосжатие волновых пакетов [2, 15], обращение волнового фронта [3, 4] и многое другое [4].

Поскольку дальше речь пойдет лишь о квазигармонических модулированных волнах, оговоримся здесь о существовании в общем случае гораздо более широкого класса модулированных волн — несинусоидальных (и даже не обязательно периодических) волн с медленно изменяющимися параметрами. Как мы уже знаем, поведение волны в нелинейной среде зависит от соотношения параметров дисперсии D и нелинейности Когда волна будет квазигармонической, ее гармоники будут бежать с существенно различными скоростями (нет синхронизма) и потому эффективно основной волной возбуждаться не будут т. е. не повлияют существенно на ее форму. При этом волну можно записать в виде к. с., где А — медленно изменяющаяся амплитуда, полная фаза (эйконал). В рамках такого описания можно построить «нелинейную геометрическую оптику» (по поводу линейной геометрической оптики см. [5] и гл. 12), в которой уравнения для амплитуды волны и полной фазы в отличие от линейной задачи оказываются связанными. При этом характер модуляции волны в процессе распространения зависит от ее амплитуды (это самовоздействие; именно к такому классу явлений относятся упоминавшиеся самофокусировка волновых пучков и самомодуляция, приводящая к образованию волновых пакетов).

Если же дисперсия и нелинейность одного порядка, то волна уже будет существенно несинусоидальной (выросшие за счет энергии основной составляющей гармоники изменят форму волны). В средах с как мы видели, возможно существование стационарных нелинейных волн (см. гл. 19), распространяющихся без искажения профиля с постоянной скоростью. Такие волны принадлежат, конечно, частному, хотя и важному классу волн в нелинейных средах. Однако если эти волны рассматривать как основу для построения более широкого класса решений, полагая, что их параметры плавно модулируются во времени и пространстве, то таким образом уже можно описать довольно широкий круг нелинейных явлений — возникновение модуляции на фоне периодических солитонных решеток, деформацию профиля нелинейной волны при распространении в неоднородной среде и т. д. [6]. Подобный подход оказывается плодотворным даже и при когда возникают ударные волны. Если при сохранении неравенства сама нелинейность достаточно мала, то эволюцию волны можно рассматривать как медленную модуляцию, поскольку она осуществляется на расстояниях, много больших ее характерной длины [6, 7].

А теперь вернемся к квазигармоническим волнам. Первый вопрос, который возникает в связи с обсуждением поведения модулированных волн в нелинейной среде, — как будет распространяться модуляция?

В равновесных прозрачных (без диссипации) средах эволюция одномерной модулированной волны описывается уравнениями

где — соответственно волновое число и частота модулированной волны, — усредненные за период плотность и поток энергии волны [6]. Уравнение (20.1), очевидно, получается из определения к и а (20.2) выражает просто закон сохранения энергии в среднем за период. Чтобы уравнения (20.1), (20.2) образовали замкнутую систему, их следует дополнить дисперсионным уравнением среды. Если среда нелинейна, то частота (или волновое число) будет зависеть от энергии волны (вспомним неизохронный осциллятор), т. е. мы должны написать

Таким образом, в нелинейной среде уравнения, описывающие распространение фазы и энергии, уже не будут независимыми [5, 6]. Учтем теперь, что наша волна квазигармоническая, при этом зависимость или k от слабая, и (20.3) можно разложить в ряд

После подстановки этого выражения в (20.1) получим уравнение

— приближение нелинейной геометрической оптики [5, 6, 10]. Ограничимся теперь случаем, когда модуляция частоты невелика, и введем относительную расстройку от основной частоты . Тогда, переходя в движущуюся систему координат из (20.5) найдем (прямой подстановкой и разложением в ряд)

где . В уравнении (20.6) опущено слагаемое поскольку оно более высокого порядка малости по

сравнению с оставленными. Чтобы получить уравнение для необходимо использовать явные выражения для энергии и потока энергии волны в нелинейной среде. Поскольку мы ведем речь о волнах малой амплитуды, в общем случае справедливо разложение в виде ряда для и уравнение переноса энергии (20.2) можно представить в форме

где при малой модуляции частоты параметр можно считать постоянной величиной. Уравнения (20.6), (20.7) описывают распространение волн модуляции при сделанных предположениях.

Уже из уравнения (20.7) сразу видны некоторые особенности такого распространения. Пусть дисперсии в узком спектральном интервале вблизи нет. Тогда и (20.7) — это хорошо знакомое нам уравнение простой волны (см. гл. 18), решение которого где Таким образом, в рассматриваемом приближении малое возмущение огибающей эволюционирует как простая волна [15] и возможно образование области быстрого изменения модуляции (рис. 20.1) (опрокидыванию волны модуляции препятствует дисперсия которой мы пренебрегли).

Из уравнения (20.6) нетрудно увидеть и то, что амплитудная модуляция в слабонелинейной среде порождает частотную.

Вообще внимательный читатель уже, наверное, заметил, что уравнения (20.6), (20.7) напоминают одномерные уравнения газодинамики играет роль скорости в звуковой волне, а — роль плотности). Принципиальное отличие состоит в том, что в нашем случае величина играющая роль квадрата скорости звука см. гл. 5), может быть отрицательной (если бы такую «среду» удалось создать, то с ростом давления ее плотность бы уменьшилась). При как и в газодинамике, уравнения (20.6) и (20.7) имеют решения в виде двух семейств простых волн — быстрых и медленных. У быстрых волн растет крутизна переднего фронта, у медленных — заднего (опрокинуться, как уже замечалось, волна модуляции не может; просто станут неприменимы наши уравнения). Если же то скорости волн становятся комплексными (убедитесь в этом самостоятельно на примере волн модуляции малой амплитуды, которые описываются линеаризованными

Рис. 20.1. Эволюция простой волны огибающей при распространении в нелинейной среде

уравнениями (20.6), (20.7)). Ответом на вопрос, что ото означает и каким физическим явлениям соответствует, мы и займемся.