Глава 14. Периодические автоколебания

14.1. Определение

Большинство окружающих нас в природе и технике нелинейных динамических систем в общем случае неконсервативно. Практически в любой системе имеются потери (трение, излучение, нагрев и т. д.), и обычно система не является энергетически изолированной: на нее действуют различные внешние силы и поля, как статические, так и переменные. Какие принципиально новые (по сравнению с консервативными системами) явления возникают в диссипативных системах, в которых колебательная энергия может не только диссипировать из-за потерь, но и пополняться из-за неустойчивостей, связанных с неравновесностью системы? Самое важное и замечательное среди таких явлений — генерация незатухающих колебаний, свойства которых не зависят от того, когда и из какого начального состояния была запущена система, т. е. незатухающих колебаний, устойчивых как по отношению к внешним возмущениям, так и к изменению начальных условий. Системы, обладающие свойством генерировать такие колебания, А. А. Андронов [2] полвека назад назвал автоколебательными, впервые придав им четкое математическое содержание, связав автоколебания с предельными циклами Пуанкаре (см. также [1]).

Предельный цикл — замкнутая фазовая траектория, к которой стремятся все соседние траектории, — является образом периодических автоколебаний, о которых мы и будем говорить в этой главе. Автоколебания в динамической системе могут быть не только периодическими, но и квазипериодическим и даже стохастическими (см. гл. 22). Поэтому сначала мы дадим достаточно общее определение.

Автоколебания — это незатухающие колебания, поддерживаемые внешними источниками энергии в нелинейной диссипативной системе, вид и свойства которых определяются самой системой и не зависят от начальных условий (по крайней мере в конечных пределах).

Автоколебания принципиально отличаются от других колебательных процессов в диссипативных системах тем, что для их поддержания, вообще говоря, не требуется периодических воздействий извне.

Колебания скрипичной струны при равномерном движении смычка, колебания тока в радиотехническом генераторе, колебания воздуха в органной трубе, маятника в «ходиках» — хорошо известные примеры автоколебаний. В простейших автоколебательных системах, или «автогенераторах», обычно можно выделить колебательную систему с затуханием, усилитель, нелинейный ограничитель — звено «обратной связи». Это можно сделать, например, в классическом генераторе Ван-дер-Поля (рис. 14.1 а, б). Автоколебания в таком генераторе устанавливаются следующим образом: случайно возникшие в LC-контуре малые колебания через катушку управляют анодным током лампы, который (при соответствующем взаимном расположении и V) усиливает колебания в контуре. При условии, что потери в контуре меньше, чем вносимая в контур таким образом энергия, амплитуда колебаний в контуре нарастает.

Рис. 14.1. Схемы генераторов Ван-дер-Поля: а — с контуром в цепи анода; б - с контуром в цепи сетки; в — характеристика лампы, аппроксимированная кубическим полиномом

С увеличением амплитуды колебаний вследствие нелинейной зависимости анодного тока от напряжения на сетке лампы поступающая в контур энергия уменьшается и при некоторой амплитуде колебаний сравнивается с потерями. В результате устанавливается режим стационарных периодических колебаний, в котором все потери энергии компенсирует анодная батарея.

Таким образом, для установления автоколебаний принципиальна нелинейность, которая управляет поступлением и потерями энергии источника. Частотные же характеристики источника принципиальной роли не играют.

Автоколебания тем и отличаются от собственных колебаний, частота которых определяется параметрами системы, а амплитуда и фаза — начальными условиями, и от вынужденных колебаний, амплитуда, фаза и частота которых определяются внешней силой, что их амплитуда и частота определяются только параметрами системы и не зависят от начальных условий, а фаза не существенна. (Характеристики источника, естественно, влияют на параметры системы.)

Рис. 14.2. Фазовые портреты автоколебательных систем: а — «мягкое» возбуждение; б — «жесткое» возбуждение (начальная точка на фазовой плоскости должна лежать вне заштрихованной области; 1 и 2 — устойчивый и неустойчивый предельные циклы)

Рассмотренный нами применительно к генератору Ван-дер-Поля режим возникновения автоколебаний, не требующий начального толчка, называется режимом «мягкого» возбуждения. Для генераторов с одной степенью свободы такому режиму соответствует фазовый портрет, представленный на рис. 14.2 а. Встречаются также системы с «жестким» возбуждением автоколебаний. Это такие системы, в которых колебания самопроизвольно нарастают с некоторой начальной амплитуды. Для перехода систем с жестким возбуждением в режим стационарной генерации необходимо начальное возбуждение с амплитудой, большей некоторого критического значения. Фазовый портрет такого генератора приведен на рис. 14.2 б. Видно, что для выхода траектории на устойчивый предельный цикл начальная точка на фазовой плоскости должна лежать вне области притяжения устойчивого состояния равновесия. Отсюда ясен и физический смысл неустойчивых предельных циклов: они служат границей между областями начальных условий, из которых система стремится к различным устойчивым режимам движения (на фазовой плоскости таким движениям соответствуют притягивающие

множества — аттракторы, например устойчивые состояния равновесия или предельные циклы.

Размеры предельного цикла определяют амплитуду автоколебаний генератора, время движения изображающей точки по циклу — их период, а форма предельного цикла — форму колебаний. Таким образом, задача об исследовании периодических автоколебаний в системе сводится к задаче нахождения предельных циклов в фазовом пространстве и определения их параметров. Общий метод для нахождения предельных циклов (как, например, для определения координат и типов состояний равновесия) не известен даже для систем второго порядка. Правда, на основании теории индексов Пуанкаре (см. гл. 15) мы можем сформулировать некоторые критерии отсутствия предельных циклов на фазовой плоскости; например, если в системе нет состояний равновесия, то в ней не может быть и предельных циклов, или если единственное состояние равновесия является седлом, то предельных циклов тоже нет и т. д.