11.2. Параметрический резонанс. Теорема Флоке (Блоха). Уравнение Матье

Классический пример параметрического резонанса — раскачивание качелей. Каждый знает, что легче всего раскачать качели, если приседать в момент максимального их подъема и таким образом, смещая их центр масс два раза за период, увеличивать эффективную длину подвеса. В качестве модели качелей естественно использовать математический маятник, длина которого изменяется по закону (рис. 11.1 а), уравнение движения имеет вид Если то, обозначая через получаем известное уравнение Матье (см. [1,2]):

Электрический аналог такого маятника, как уже говорилось, — колебательный контур с изменяющейся емкостью (рис. 11.16) или (рис. 11.1 в). Емкость можно изменять механически, скажем, с помощью мотора, сдвигая и раздвигая пластины конденсатора. Чтобы амплитуда колебаний при этом нарастала, нужно вводить в контур энергию, совершая работу против сил электростатического поля конденсатора. Это означает, что раздвигать пластины нужно, когда заряд на конденсаторе максимален, а сдвигать — когда заряд на конденсаторе обращается в нуль. Соответствующее уравнение колебаний имеет вид

где площадь пластин конденсатора, диэлектрическая проницаемость вещества, заполняющего конденсатор, переменное во времени расстояние между пластинами). Если , то уравнение для колебаний заряда принимает вид

К тому же уравнению с точностью до замены на приводит анализ распространения волн в среде с параметрами, периодически зависящими от координаты. Одна из возможных реализации такой среды изображена на рис. 11.1в мы выбрали длинную линию с периодически изменяющейся вдоль ее длины емкостью. Подобная «среда» описывается телеграфными уравнениями которые приводят к волновому уравнению

Рис. 11.1. Примеры простейших параметрических систем: а — маятник с изменяющейся во времени длиной; б - колебательный контур с изменяющейся во времени емкостью; в — длинная линия, емкость которой периодически изменяется с координатой

Будем искать решение волнового уравнения в виде и пусть, кроме того, Тогда для получается уравнение

Ограничившись рассмотрением параметрических систем с одной степенью свободы, описываемых уравнением общего вида — уравнением Хилла

где периодическая функция времени, попытаемся ответить на следующие вопросы.

Возможна ли неустойчивость в параметрических системах? Если возможна, то при каких условиях она возникает? Каковы границы областей неустойчивости?

Приведем простейшие сведения из теории дифференциальных уравнений с периодическими коэффициентами и, в частности, теорему Флоке, которая определяет структуру решения системы линейных дифференциальных уравнений с периодическими коэффициентами. В общем случае теорема формулируется так: система с степенями свободы, описываемая дифференциальным уравнением порядка с периодическими коэффициентами периода Т, имеет линейно независимых решений, образующих фундаментальную систему, причем каждое из этих решений имеет вид где — периодическая функция с периодом Т. Экспоненты называют ляпуновскими экспонентами, числа — ляпуновскими характеристическими показателями, а — функциями Флоке.

Поясним теорему Флоке для системы второго порядка, т. е. для уравнения (11.4).

Выберем произвольно два частных, линейно независимых решения уравнения (11.4). В силу периодичности коэффициента в уравнении а функции тоже будут решениями уравнения (11.4). Как и всякое решение, они могут быть выражены через фундаментальную систему следующим образом:

Решения всегда можно выбрать так, чтобы выполнялось условие (предлагаем читателям доказать это положение самостоятельно). Это значит, что

т. е. решение воспроизводит себя через период с точностью до постоянного множителя Очевидно, что Умножая первое из этих тождеств на а второе на и вычитая полученные соотношения друг из друга, получаем

т. е. . Следовательно,

что с учетом (11.5) дает уравнение связи между в виде

Введем новые постоянные (они, вообще говоря, комплексны) посредством соотношения Тогда из (11.6) следует, что Введем также новую функцию Легко убедиться, что если выполняются условия (11.5), то функция периодическая с периодом Т. Следовательно, решения имеют вид

а общее решение (11.4) можно записать как

Если то одно из слагаемых правой части в (11.7) будет расти со временем и будет нарастать — в системе возможна неустойчивость.

Явление, заключающееся в нарастании колебании в параметрических системах, называют параметрическим резонансом [2]. Для ответа на вопрос о том, при каких условиях возникает параметрический резонанс, конкретизируем вид функции в уравнении (11.4).

Пусть что превращает уравнение (11.4) в уравнение Матье:

К уравнению Матье, как мы видели, приводят и одномерные задачи распространения волн. Применительно к задачам распространения волн в трехмерных периодических структурах существует обобщение теоремы Флоке (на трехмерный случай); оно носит название теоремы Блоха [1, 3].

При произвольных решение уравнения (11.8) выражается через специальные функции — функции Матье, которые протабулированы и свойства которых хорошо известны. Попытаемся здесь решить задачу в простых функциях, считая, что . При решение уравнения (11.8) известно. Есть надежда, что и при значении не равном нулю, по малом, решение будет мало отличаться от известного, а поправки можно будет вычислить рекуррентным способом, т. е. каждое последующее приближение будет определяться предыдущим. Итак,

воспользуемся для решения уравнения (11.8) теорией возмущения [21], в основе которой лежит значение решения при При решение уравнения (11.8) будем искать в виде

Решение в виде (11.9) имеет смысл лишь в случае, когда поправки к нулевому приближению не нарастают со временем. Подставим (11.9) в (11.8) и сгруппируем члены при одинаковых степенях что дает нам для уравнение

Все слагаемые в (11.10) имеют разный порядок величины и скомпенсировать друг друга не могут, поэтому для выполнения тождества каждая из скобок должна равняться нулю. Таким образом, мы получили рекуррентную систему уравнений для нахождения приближения. Как видно из (11.10), каждое из уравнений представляет собой уравнение гармонического осциллятора, на который действует внешняя сила в виде набора гармоник. Например, для поправки первого приближения

или

Вынуждающая сила в правой части этого выражения содержит всего две гармонические составляющие — на частотах Чтобы поправка не нарастала во времени, необходимо, чтобы эти гармоники были нерезонансными с колебаниями на частоте т. е. необходимо выполнение неравенств Но ведь нас интересует именно случай резонанса (вспомните качели!). При резонансе же растет линейно во времени, и поэтому решение вида имеет смысл лишь на временах порядка нескольких

периодов. Как исправить решение, чтобы им можно было пользоваться и при резонансе?

Обратим внимание на следующее обстоятельство: нарастающими оказываются именно те слагаемые в поправке которые имеют вид главной части решения Действительно, в резонансном случае Но в решении при стоит малый параметр т. е., несмотря на секулярный рост локально во времени по-прежнему имеет вид синусоиды с частотой но на больших временах амплитуда и фаза этого решения могут сколь угодно отличаться от их начальных значений. Это подсказывает нам выход из положения, если амплитуду и фазу главной части решения считать уже не постоянными величинами, а медленно изменяющимися функциями времени, т. е. такими, что их изменение учитывают резонансные слагаемые в (т. е. секулярная часть суммируется на каждом периоде с , то поправка будет иметь порядок с и на очень больших временах, поскольку в разности резонансных составляющих уже нет.

В подобном суммировании резонансных составляющих в разных порядках теории возмущений с главной частью решения заключается основная идея большинства методов малого параметра, в том числе и для нелинейных систем.

Вернемся теперь к нашей задаче и рассмотрим резонансный случай где — малая расстройка. Решение уравнения (11.8), которое с учетом выражения для имеет вид

будет таким:

где — медленно изменяющиеся по сравнению с функции времени. В (11.12) не учтены слагаемые с частотами, отличающимися от на где — целое число, поскольку они имеют более высокий порядок малости по чем нужно для первого приближения. Вновь введенные функции определим как раз из условия ненарастания добавки Подставляя (11.12)

в уравнение (11.11) и приравнивая коэффициенты при в первой степени (считаем получаем для уравнение

Пользуясь теперь свободой в выборе потребуем, чтобы в правой части этого уравнения резонансные слагаемые отсутствовали, т. е. А и В определим равенствами

Это и есть искомые уравнения для медленно изменяющихся амплитуд.

Решение такой линейной системы уравнений, как и обычно, ищем в виде Из условия нетривиальности решения получаем характеристичесмкое уравнение для определения А:

При достаточно малой расстройке амплитуды А и В будут нарастать — в системе реализуется параметрическая неустойчивость. Приведенные неравенства определяют зону основного резонанса, границы которой изображены на рис. 11.2.

Если в системе есть потери порядка то основная зона неустойчивости будет определяться неравенствами

где — декремент затухания. Откуда следует, что при наличии диссипации даже при точном резонансе для возникновения неустойчивости необходима конечная глубина модуляции параметра, пороговое значение которой (рис. 11.3 а).

Нетрудно определить границы основной зоны неустойчивости и с более высокой точностью — до величин порядка Главную часть решения (11.1) в этом случае естественно искать в виде

Поскольку на границе зоны неустойчивости после подстановки в таком виде в (11.1) с точностью до слагаемых порядка находим границы области неустойчивости:

Предоставляем читателю самому вывести (11.13), обращаясь при затруднениях к [4, задача 1, с. 107].

Нетрудно сообразить, что параметрический резонанс должен иметь место при любом где — целое число; в том числе и при Качественно это ясно: чтобы раскачать качели, можно толкать их и один раз за период, но для получения прежнего результата толкать надо сильнее.

Рис. 11.2. Границы зоны параметрической неустойчивости, соответствующей основному резонансу (заштрихована): При построении использовано соотношение при

Поясним, как найти решение уравнения (11.11) в случае, когда т. е. во второй зоне параметрического резонанса. Решение представим в виде

Чтобы была возможность изымать резонансные слагаемые из правых частей уравнений разных приближений (т. е. из уравнения для и из уравнения для производные Ли В разобьем на два слагаемых:

где определим из условия ненарастания — из условия ненарастания Повторяя операции, проделанные выше (с точностью до замены А и В на нетрудно убедиться, что в первом приближении по параметрической неустойчивости нет. Вычисляя далее вынужденное решение на частоте и подставляя его вместе с в правую часть уравнения для которое получается из (11.10), имеем

Здесь вынужденное решение уравнения для на частоте второй гармоники. Вычислив эту величину и определив (из условия отсутствия в правой части (11.14) слагаемых с частотой получим искомые уравнения для Предоставляем читателю проделать этот путь самостоятельно. Ниже приведены только уравнения границ второй зоны неустойчивости в частном случае

[4, задача 2, с. 108]. Видно, что спектральная ширина второй зоны параметрической неустойчивости на порядок уже первой . С ростом зоны параметрических резонансов сужаются как (рис. 11.36). Соответственно уменьшаются и инкременты неустойчивостей в этих зонах.

Рис. 11.3. Поведение областей неустойчивости, описываемое асимптотическими решениями уравнения Матье: а — появление порога возбуждения параметрических колебании, возникших в результате затухания; б - сужение областей неустойчивости с ростом номера зоны

При большой глубине модуляции параметра правая часть уравнения уже не является малой и асимптотический метод решения неприменим. В этом случае приходится пользоваться таблицами или решать уравнение Матье численно.

В этом разделе мы обобщим теорию связанных колебаний, кратко изложенную в гл. 2, на случай, когда параметр связи изменяется во времени (параметрическая связь). Подобно тому как два разночастотных колебания смешиваются на нелинейном элементе, смешение частот происходит и при изменении какого-либо параметра системы во времени.

Проведем это обобщение [5] на примере параметрической колебательной системы с постоянной емкостью, включенной параллельно

Рис. 11.4. Схема вырожденной двухчастотной системы

емкости Такая система называется вырожденной двухчастотной; она изображена на рис. 11.4. Заряд на параллельно включенных конденсаторах определяется соотношением Поэтому уравнение для тока, протекающего через катушку индуктивности, имеет вид

а для напряжения на катушке индуктивности имеет место уравнение Считаем, что

— частота накачки, — фаза накачки, определяющая сдвиг фазы накачки относительно фазы изменения заряда на конденсаторе. Перепишем (11.15) в виде

где Умножим (11.17) на и сложим получившееся уравнение с (11.15). Тогда получим

Кажется естественным, не обращая внимания на то, что есть функция времени, ввести в (11.18) нормальные колебания, как это сделано в гл. 2. Амплитуды таких колебании, как видно из структуры уравнения (11.18), удобно определить соотношениями

при этом очевидно, что Кроме того, определим Преобразуем, используя определение первое слагаемое в правой части уравнения (11.18) к виду . С учетом этого и (11.19) уравнения (11.18) можно записать следующим

образом:

Легко видеть, что при уравнения (11.20) и (11.21) соответствуют уравнениям нормальных колебаний осциллятора, которые, как мы уже отмечали, можно представить двумя противоположно вращающимися векторами. Когда колебания становятся параметрически связанными (накачка связывает нормальные колебания). Как и в гл. 2, остановимся на случае слабой связи, положив При таком условии колебания можно считать близкими к нормальным; кроме того, можно положить где — медленно изменяющаяся по сравнению с функция, т. е. На каких частотах появятся составляющие в правых частях уравнений (11.20) и (11.21) из-за того, что

Посмотрим это на примере; очевидно, что в правой части (11.20) появятся слагаемые

Допуская, что добротность контура велика, можно пренебречь составляющими кроме того, можно отбросить и слагаемое (подумайте сами, почему). Аналогичные слагаемые можно не учитывать и в правой части уравнения (11.21). В результате получаем

где

При выводе уравнения (11.22) учтено, что

поскольку (аналогично

Перейдем в уравнениях (11.22) к переменной Легко видеть, что поэтому и мы получим ценой допущения и пренебрежении гармониками систему уравнений с постоянными коэффициентами. Если то

Из (11.23) следует, что существуют нарастающие и затухающие колебания. Легко видеть, что выражение (11.23) совпадает с полученным выше для первого приближения при решении задачи методом возмущении, если в последнем положить

Если задать начальные значения то легко найти полное решение задачи, что сделано в [5]. Главная особенность найденного решения — сильная зависимость от сдвига фазы накачки относительно фазы изменения заряда на конденсаторе. Пусть, например, в начальный момент времени выполняются условия . В этом случае — сдвиг фазы накачки относительно начального напряжения на конденсаторе), причем если то , как показано в [5],

Таким образом, при имеет место параметрическая неустойчивость — решение экспоненциально нарастает по времени. В то же время при решение экспоненциально затухает. Найдите сами, как нужно выбрать сдвиг фазы накачки относительно фазы напряжения при произвольных начальных условиях для получения нарастающего решения (заметим, что удобно искать величину где — фаза колебания а).

Мощность, связанная с колебаниями а и а, и мощность накачки удовлетворяют соотношениям Мэнли-Роу (закон сохранения энергии для колебательной системы вместе с источником накачки):

Это соотношение легко интерпретировать: мощность от источника накачки распределяется между нормальными колебаниями а и а поровну (нельзя запасти мощность в одном колебании). Разумеется все сказанное справедливо лишь при частоте накачки

Для модели нелинейной емкости, которая связана с эквивалентной внешней цепью, содержащей генераторы с частотами (тип — целые числа, — несоизмеримые частоты), активные проводимости и идеальные фильтры (фильтры имеют нулевое сопротивление на частоте генератора и бесконечное — на всех других), соотношения Мэнли-Роу [6] имеют вид

где — средняя мощность, поступающая в нелинейную емкость на частотах - Хотя общее рассмотрение проведено для нелинейной, а не для изменяющейся во времени емкости, можно показать [5], что эти представления эквивалентны.