20.3. Самофокусировка

Обратимся теперь к обсуждению эволюции неодномерной модулированной волны в рамках уравнения (20.1). Для волн модуляции малой амплитуды получаем, линеаризуя (20.1),

где закон дисперсии

— частота, продольное и поперечное волновые числа волн модуляции), из которого в частном случае плоских волн получается уже известный нам инкремент модуляционной устойчивости (20.12). Сейчас, наоборот, мы для простоты будем считать, что одномерные возмущения отсутствуют, т. е. . Тогда из (20.21) при следует, что для всех

величина оказывается чисто мнимой — неодномерные возмущения с частотой, равной частоте заполнения, нарастают вдоль направления распространения. Физически это проявляется следующим образом: если на границу нелинейной среды, диэлектрическая проницаемость которой растет с ростом интенсивности поля (для определенности мы говорим об электромагнитных волнах), подать плоскую волну частоты то в процессе распространения волна превращается в периодическую в поперечном направлении систему волновых пучков. Это и есть явление самофокусировки [25, 26]. Иными словами, неустойчивость, приводящая к самофокусировке, — это стационарный пространственный вариант параметрической неустойчивости или распада пары квазичастиц, находящихся в одном состоянии, на пару квазичастиц той же энергии с различными направлениями импульсов (рис. 20.7).

Как видно из (20.22), самофокусировка начинается лишь при условии, что амплитуда (или мощность) входящей в нелинейную среду волны конечной апертуры превышает некоторое критическое значение. Например, для цилиндрических возмущений радиуса самофокусировка начинается, лишь когда мощность энергии, заключенная внутри окружности радиуса больше величины Очевидно, что если бы мы говорили о безграничной в поперечном направлении волне, то условие (20.22) просто означало бы, что при малых нарастают лишь возмущения очень больших поперечных масштабов. Но реальные пучки имеют конечную ширину, поэтому и появляется порог по амплитуде, определяемый (20.22), — размер возмущений не может быть больше размеров пучка.

Рис. 20.7. Распад пары квазичастиц с импульсом ко на пару с той же энергией и импульсами кг в самофокусирующей среде

Подобно тому, как для пространственно-временных пакетов, распространяющихся в одномерной слабонелинейной среде, дисперсия оказывала стабилизирующее действие и в результате могли устанавливаться стационарные волны модуляции, в случае развития неодномерных возмущении нелинейной фокусировке волны поперек направления распространения в принципе может воспрепятствовать дифракционное расплывание (описываемое в (20.8) слагаемым, пропорциональным . В результате совместного действия дифракции и нелинейности становится возможным существование стационарных сфокусированных волновых пучков [27]. Такие пучки, например цилиндрические волноводы, представляют собой чрезвычайный интерес с практической точки зрения — реализовав их, можно было бы передавать энергию, скажем, электромагнитного поля в нелинейной среде на большие расстояния, не опасаясь потерь, вызванных дифракцией. Однако такие волноводы неустойчивы.

Пояснить эту неустойчивость можно с помощью метода моментов [27]. Будем для простоты все коэффициенты в (20.8) считать равными единице: Это уравнение можно записать в форме где гамильтониан . Рассмотрим эволюцию во времени эффективной ширины пучка :

где — размерность пространства Это выражение получается из определения при использовании уравнений движения пучка в гамильтоновой форме и интегрирования по частям. Первое слагаемое в (20.23) описывает дифракционное расплывание пучка, второе — его нелинейное сжатие. Таким образом, как следует из (20.23) [27, 28], при имеем . Стационарному волноводу (нелинейное сжатие компенсируется дифракционной расходимостью) отвечает значение . Из последнего равенства видно, что двумерные (осесимметричные) волноводы неустойчивы — либо любое малое возмущение приводит к сжатию пучка (когда начальная энергия возмущений окажется отрицательной и, следовательно, ), либо волновод расплывается

Рис. 20.8. Самофокусировка акустического пучка в воде с пузырьками газа: а — порог самофокусировки не достигнут; б — порог самофокусировки превышен

В заключение подчеркнем, что самофокусировка пучков, представляет интерес не только в оптике, но и в акустике, физике плазмы и т. д. Для примера на рис. 20.8 приведены результаты эксперимента по самофокусировке интенсивных ультразвуковых волн в дистиллированной

воде с пузырьками газа [29] (пузырьки в воде появились из-за явления кавитации).