16.3. Взаимная синхронизация мод

Весьма важным представляется вопрос: какие физические механизмы мешают существованию многопериодических движений в автоколебательных

Рис. 16.15. Состояния равновесия системы (16.14) при конкуренции двух видов [8]: а — устойчивое ; б — неустойчивое (начальные условия определяют, какой вид выживет)

системах со многими степенями свободы? Для ответа на этот вопрос рассмотрим поведение ансамбля квазигармонических автогенераторов со слабой связью:

. Здесь добавки отражают взаимодействие мод. При все колебания независимы, и фазовое пространство системы (16.16) распадается на фазовых плоскостей, на каждой из которых имеется единственный устойчивый предельный цикл с периодом и амплитудой . В исходном -мерном пространстве таким независимым колебаниям соответствует притяжение изображающей точки к -мерному тору — произведению независимых циклов. Если все несоизмеримы, то фазовые траектории на торе представляют собой плотную, нигде не замыкающуюся обмотку — квазипериодическое движение. Когда же между автогенераторами (или автоколебательными модами) появляется связь, то такое простое квазипериодическое движение, вообще говоря, должно разрушаться. Самые простые — одномодовые — автоколебания устанавливаются в многомодовой системе в результате действия эффекта конкуренции, который связан с появлением на каждой или некоторых модах нелинейного поглощения, прогрессирующего с ростом энергии «чужих» мод. Такая ситуация обычно возникает в тех случаях, когда все моды черпают энергию из одного источника. Функция связи при этом может зависеть

только от энергии мод:

где — коэффициент связи. При связь слабая и возможна многочастотная генерация, как, например, в газовом лазере с неоднородно уширенной линией активного вещества — разные моды резонатора черпают энергию от разных активных молекул. Если же, например, (сильная связь), то независимо от числа начально возбужденных мод устанавливается режим одномодовой генерации. Как правило, торжествует та мода, для которой линейный инкремент максимален. Таким образом, то замечательное обстоятельство, что в неравновесной системе (среде) из начально генерируемого шума устанавливается простой динамический режим, в первую очередь связано с эффектом конкуренции.

К разрежению и упорядочению спектра колебаний приводит и эффект синхронизации. При синхронизации моды не подавляют друг друга, но взаимно сдвигают частоты так, что с учетом нелинейных поправок они либо совпадут, либо станут соизмеримыми. На торе вместо квазипериодической обмотки появляются предельные циклы. Взаимная синхронизация мод возможна как по частотам, так и по волновым числам. В последнем случае эффект синхронизации выглядит особенно нетривиально — именно пространственной синхронизацией мод объясняется возникновение сложных упорядоченных структур в неодномодных автоколебательных системах (в частности, шестигранных призматических ячеек Бенара при термоконвекции, о которых будем говорить позднее).

Наглядный пример синхронизации в ансамбле большого числа автогенераторов приведен на рис. 16.16. Здесь представлены результаты численного эксперимента с системой (16.17) в случае линейной связи осцилляторов с близкими частотами при [9, 10]:

Предполагалось, что при отсутствии взаимодействия автогенераторы

Рис. 16.16. Синхронизация ансамбля из 100 связанных автогенераторов с лоренцевым распределением по частотам полная фаза осциллятора, квадрат амплитуды, для моментов времени: — номер генератора

распределяются по частотам согласно функции Лоренца:

Ясно, что если вначале амплитуды А, и фазы мод имели случайные значения, то уже по прошествии 80 периодов в результате синхронизации практически устанавливается одночастотный режим. Достаточно сильная связь генераторов может привести и к обратному синхронизации эффекту — хаотизации.

Именно такое доведение демонстрируют два связанных автогенератора — при очень сильной связи в системе возможны стохастические автоколебания (в этом случае система переходит в автогенератор со стохастическим поведением; см. гл. 22).