7.5. Усиление и непропускание. Критерии разделения

С физической точки зрения кажется очевидным, что систему, в которой реализуется конвективная неустойчивость, можно использовать для усиления сигналов. Таким образом, если дисперсионное уравнение при действительном имеет комплексные решения

для к и асимптоты дисперсионных кривых имеют наклоны одного знака (см. рис. 7.6 б и 7.10 в), то в системе есть усиление. На языке характеристик это означает, что область распространения лежит по ту сторону от границы на которую подается сигнал. Обратный случай — когда асимптоты имеют наклоны разных знаков — соответствует непропусканию.

Столь простой критерий разделения усиления и непропускания применим лишь к системам гиперболического типа. Для систем более общего вида существует несколько более сложных критериев [15-18,20-22], один из которых — критерий Бриггса [18] — мы здесь приведем. При решении дисперсионного уравнения будем считать комплексным с . Узнать, будет ли комплексное решение для к соответствовать усилению или непропусканию, можно следующим образом: если при знак изменяется, то имеет место усиление, если же знак не меняется, то — непропускание.

Иными словами, в системе будет усиление, если она чувствительна к спаду сигнала во времени, и непропускание, если система не чувствует этого спада (волна просто не проникает в среду, как, например, в случае бесстолкновительной плазмы, когда при физически данный критерий связан с принципом причинности. Если предположить, что система возбуждается источником, сигнал которого меняется во времени по закону то все волны должны затухать с удалением от источника из-за конечной скорости распространения возмущения. Следовательно, когда волна усиливается при действительных то знак должен измениться при т.е. при нарастании во времени волна должна затухать в том направлении, в каком усиливалась при

Заканчивая эту главу, приведем еще два примера распределенных усилителей. Один из них (см. [25]) — это акустический усилитель, созданный Ч. Беллом. В этом усилителе тонкая струя воды направлялась на маленькую резиновую диафрагму, связанную с индикатором звука — рупором. Волны, распространяющиеся в потоке воды, вызывали колебания в диафрагме, преобразуемые в звуковые на выходе из рупора. Существование растущих с координатой волн доказывалось следующим образом. Около сопла, из которого вырывалась струя воды, размещался камертон или музыкальный ящик (см. [25]), которые на современном языке следует назвать входным устройством. Тогда на выходе из рупора снимался усиленный звуковой сигнал, достаточный для того, чтобы его было слышно в лекционном зале.

В работе [25] предложена простая теория усилителя, близкая по форме построения к теории неустойчивости Гельмгольца. Суть ее в следующем. Рассматривается односкоростной цилиндрический ламинарный поток несжимаемой жидкости с плотностью который описывается гидродинамическими уравнениями Эйлера для радиальной и продольной компонент скорости. Возмущениями по азимутальной координате пренебрегают. В предположении, что под действием начального возмущения возникающие переменные величины изменяются по закону где действительная величина, линеаризованные уравнения движения имеют вид

где — постоянная скорость жидкости в направлении. Из условия несжимаемости жидкости и уравнений (7.55) и (7.56) получается дифференциальное уравнение для которое имеет решение

где А — постоянная, — модифицированная функция Бесселя первого рода нулевого порядка. Под действием возмущений граница жидкости искривляется, что, как показано в [25], приводит к следующему выражению для переменного давления на границе:

где — поверхностное натяжение, . Используя (7.57) и (7.58), приходим к дисперсионному уравнению

Если считать, что и в правой части (7.59) заменить к на то

Вид функции показан на рис. 7.12. Для нарастающей волны максимальный коэффициент усиления (в децибелах на единицу длины)

Следуя [25], оценим величину полагая, что диаметр потока равен а частота, соответствующая условию (рис. 7.12), равна . Из этих данных находим, что скорость потока должна быть равна (это равносильно напору 1260 см вод. ст.). Тогда, используя график рис. 7.12, для частоты около 3500 Гц получаем .

Рис. 7.12. График функции Для низких частот эта функция (а значит, и максимальный коэффициент усиления на единицу длины) пропорциональна частоте, достигает максимума при и обращается в нуль на частоте

В электронике подобная неустойчивость характерна для трубчатых пучков в продольном магнитном поле; последнее компенсирует кулоновы силы расталкивания в объемном заряде [26].

На рис. 7.13 приведены фотографии из работы [26], иллюстрирующие эволюцию этой неустойчивости в пространстве дрейфа. Неустойчивость полых пучков близка к неустойчивости тонких заряженных слоев в скрещенных электро- и магнитостатических полях, для которых возможно простое качественное объяснение неустойчивости [7]. Действительно, если в задаче с трубчатым пучком перейти в систему координат, движущуюся вдоль магнитного поля со статической скоростью электронного потока, то движение электронов будет таким же, как и в пучке в скрещенных полях — перпендикулярным и электрическому, и магнитному полям. Интересно, что для электронных потоков в скрещенных полях с произвольным распределением плотности по сечению справедлив ряд известных гидродинамических теорем об устойчивости

Рис. 7.13. Эволюция неустойчивости дрейфующего цилиндрического электронного потока в продольном магнитном поле; на фотографиях из работы [26] показано сечение пучка при перемещении экрана вдоль пространства дрейфа; увеличение номера кадра соответствует увеличению длины дрейфа (а); иллюстрация фотографий на примере тонкого ленточного слоя в скрещенных полях; локальное увеличение плотности заряда приводит к изгибу слоя, он становится неустойчивым, и начальное возмущение растет (б) [7, гл. 5]

различных плоскопараллельных течений (в частности, существует аналог теоремы Рэлея о необходимости для неустойчивости электронного потока точки перегиба в профиле скорости).