13.3. Нелинейный резонанс

Если осциллятор линейный, т. е. в разложении мы ограничиваемся только первым членом, то при действии на осциллятор внешней периодической силы наблюдается, по существу, единственный основной эффект — линейный резонанс (см. гл. 1). Чем меньше потери в осцилляторе, тем острее и выше резонансная кривая (см. рис. 1.9). Что изменится в случае, когда частота зависит от амплитуды? Пусть частота внешнего воздействия равна частоте вращения по одной из фазовых траекторий вблизи центра (см. рис. 13.4). Тогда система черпает энергию от внешнего источника и малые вначале колебания нарастают. Это означает, что изображающая точка как бы перемещается последовательно на те фазовые траектории, которым соответствует большая энергия, но, так как осциллятор неизохронный, большим энергиям соответствует уже другая частота. В результате система выходит из резонанса и, начиная с некоторой амплитуды,

осциллятор перестает замечать внешнюю силу. Выход из резонанса происходит, таким образом, за счет нелинейного сдвига частоты

Что может быть качественно нового в нелинейном осцилляторе при резонансе? В линейном осцилляторе резонанс есть только на частоте, близкой к собственной, т. е. при е. Для нелинейного же есть резонанс и на гармониках; например, квадратичная нелинейность приводит к появлению в нелинейной системе спектральных компонент Следовательно, если, например, то в системе будет резонанс на гармонике внешней силы.

В общем случае в нелинейном осцилляторе даже при синусоидальном внешнем воздействии возможны совершенно нетривиальные эффекты — динамика системы может оказаться чрезвычайно сложной, в том числе и стохастической. Эти эффекты обнаруживаются лишь при наличии нелинейности. Чтобы их исследовать, нужно решать задачу численно либо с помощью анализа фазового пространства. Надо учесть, что фазовое пространство неавтономной системы с одной степенью свободы уже трехмерное: (третьей координатой является время).

Ограничимся пока рассмотрением системы, близкой к линейному автономному осциллятору, т. е. будем считать малыми нелинейность, диссипацию и амплитуду внешней силы. Тогда становится очевидным и выбор метода решения — это один из асимптотических методов. Исходную модель можно описать следующим уравнением:

Так как мы хотим исследовать резонанс, будем искать решение на частоте внешней силы, т. е. в виде Считая преобразуем уравнение (13.9) к виду

Используя метод Ван-дер-Поля, получаем укороченные уравнения для амплитуды и фазы:

Здесь — линейная расстройка. Резонансная кривая — это зависимость амплитуды установившихся колебаний от расстройки, т. е. зависимость которая получается из (13.10) при условиях

Эти условия определяют состояние равновесия системы (13.10):

Отсюда где , следовательно, искомая связь имеет вид

При построении резонансных характеристик на плоскости (рис. 13.10 а) амплитуда внешней силы является параметром. Когда резонансные кривые представляют собой графики однозначных функций и напоминают резонансные кривые линейного осциллятора с затуханием. Максимум у них смещен в сторону больших частот, если собственная частота осциллятора с ростом амплитуды растет, и в сторону меньших, если собственная частота убывает. При резонансная кривая представляет собой график неоднозначной функции.

Рис. 13.10. Резонансные кривые нелинейного осциллятора: а — при амплитудах ( — параметр) резонансные кривые соответствуют графикам однозначных функций и представляют собой несколько деформированные кривые линейного осциллятора с затуханием (см. рис. 1.9); б — резонансная кривая при (крестиками обозначена неустойчивая ветвь; заштрихована область гистерезиса

Исследование устойчивости состояний равновесия системы (13.10), соответствующих различным ветвям резонансной кривой (это предоставляется читателю проделать самостоятельно), показывает, что

ветвь, отмеченная на рис. 13.10 б крестиками, неустойчива. При изменении расстройки будем иметь следующее: при точный резонанс по линейному приближению — амплитуда далеко не максимальна; при увеличении амплитуда растет до при скачком происходит срыв колебаний до существенно меньшей величины. При обратном ходе скачок происходит при амплитуда при этом возрастает (рис. 13.10 б). Значение соответствует точке касания прямой с резонансной кривой точке касания прямой Дифференцируя уравнение для резонансной кривой

для вертикальной касательной находим

Значения получаются из совместного решения уравнения

и уравнения (13.12). Приравнивая выражение для производной нулю, легко найти Из (13.12) следует, что . Значение при котором на резонансной кривой появляется гистерезис, определяется из условия равенства корней уравнения (13.13), т. е. обращения в нуль его дискриминанта: откуда При этом и из (13.12) следует, что

Обсудим теперь, к чему приводит нелинейность при параметрическом возбуждении. В гл. 11 были изложены результаты исследования параметрического резонанса в осцилляторе, описываемом, например, уравнением Матье (11.8). В результате развития параметрической неустойчивости в системе нарастают колебания; линейное затухание здесь, очевидно, не существенно: оно лишь сужает полосу возбуждения, не приводя к ограничению амплитуды. При больших амплитудах колебаний в осцилляторе может уже оказаться существенной его нелинейность, проявляющаяся, в частности, в зависимости частоты от амплитуды: . Тогда колебания параметрически возбуждаемого осциллятора уже не могут расти безгранично, несмотря на параметрический инкремент. Появляется добавка к частоте, и из-за сдвига частоты, о котором речь уже шла, условия параметрического

резонанса нарушаются. Происходит ограничение амплитуды (так называемый расстроечный механизм ограничения).

Перепишем уравнение такого осциллятора в виде

где характеризует линейные потери. При основном параметрическом резонансе должно выполняться условие . Применяя к (13.14) метод Ван-дер-Поля и отыскивая решение в виде получаем после усреднения следующие уравнения для амплитуды и фазы:

Из системы уравнений (13.15) видно, что даже при отсутствии линейной расстройки есть расстройка, пропорциональная квадрату амплитуды. Она приводит к такому сдвигу фазы, что параметрический инкремент обращается в нуль, и амплитуда таким образом ограничивается.