Глава 2. Колебания в системе двух связанных осцилляторов

2.1. Исходные уравнения

В предыдущей главе мы познакомились с явлением резонанса в его простейшей форме — внешним резонансом в линейном осцилляторе. Если система не столь проста, например, обладает несколькими степенями свободы, возможен другой эффект, такой, как внутренний резонанс — резонанс между отдельными подсистемами. Как мы увидим, в результате внутреннего резонанса отдельные подсистемы (их называют парциальными) обмениваются энергией друг с другом, т. е. это уже взаимодействие подсистем. Очевидно, что внешний резонанс можно рассматривать как частный случай внутреннего, если энергию одной из подсистем считать бесконечной. При этом будет уже не взаимодействие, а просто воздействие одной подсистемы на другую.

Вообще в системах уже с двумя степенями свободы проявляются многие эффекты, характерные и для более сложных систем. Поэтому данную главу мы посвятим достаточно подробному анализу системы двух связанных осцилляторов.

Воспользуемся обычно приводимыми простейшими примерами связанных осцилляторов (рис. 2.1). Это, в частности, два математических маятника длиной с одинаковыми массами грузов находящиеся в поле тяготения. Маятники связаны невесомой пружиной с жесткостью к (рис. 2.1 г). Движение такой консервативной системы с двумя степенями свободы в линейном приближении описывают уравнения

где Эти уравнения могут быть получены либо из выражения для энергии системы, которое для малых отклонений маятников

Рис. 2.1. Простейшие примеры электрических и механических систем двух связанных осцилляторов: а — инерциальная (индуктивная) связь; б - смешанная связь; в — силовая (емкостная) связь; г - два связанных маятника в поле тяготения имеет вид

(первое слагаемое в очевидно, а второе и третье — соответственно потенциальная энергия грузов в поле тяжести и потенциальная энергия упругости пружины — энергия связи), либо из физических соображений, основанных на том, что ускорение маятника связано с существованием возвращающих сил гравитационного поля и пружины Обычно систему (2.1) переписывают в виде уравнений связанных осцилляторов:

Прежде чем переходить к анализу системы уравнений (2.3), приведем один менее известный пример системы связанных осцилляторов. Этот пример связан с задачей, часто встречающейся в вакуумной и квантовой СВЧ-электронике: возбуждение резонансной колебательной системы заданными источниками, характер которых определяется свойствами активной среды (электронный поток, газовая смесь, парамагнитный кристалл и т.п.). Если резонатор пустой («холодный») и потерями можно пренебречь, то он ведет себя как совокупность несвязанных осцилляторов — нормальных мод. Возмущение комплексной диэлектрической проницаемости среды, которой заполнен резонатор,

приводит к тому, что моды становятся связанными [1, 2]. Объясняется это просто — все моды модулируют среду и таким образом через нее воздействует друг на друга. Рассмотрим такую модель: резонатор заполнен диэлектрической средой, комплексная диэлектрическая проницаемость которой под действием какого-либо возмущения изменилась согласно закону (такому изменению соответствует возбуждающий ток с плотностью — соленоидальная часть электрического поля). В монографии [1] эта модель связывается с изменениями активной среды, находящейся в открытом резонаторе квантового генератора, под действием поля накачки. Тогда для коэффициентов разложения соленоидальной части возбужденного в резонаторе электрического поля получаются уравнения

где индекс соответствует собственной моде, — коэффициент связи, определяемый возмущением диэлектрической проницаемости [1].

В частности, если предположить, что резонансными будут собственные колебания с индексами то из (2.4) получаем систему двух уравнений

подобных (2.3).