24.3. Спиральные и цилиндрические волны. Ведущие центры

Более или менее подробно аналитически удается исследовать лишь сравнительно простые явления самоорганизации, которые описываются

Рис. 24.4. Спиральные вихри в двумерной активной среде: а-г - вихри с топологическими зарядами, равными соответственно единице, двум, трем и четырем

как правило, автомодельными решениями уравнения (24.1). Детальный же анализ большинства явлений требует привлечения ЭВМ, причем в численном эксперименте зачастую наблюдаются не простейшие решения, которые удается найти аналитически, а их весьма сложные комбинации.

Обсудим кратко структуры в виде спиральных волн, которые экспериментально наблюдаются в сердце при возникновении аритмии [17], в химически возбудимой среде [3], а также в различных биологических средах.

Известное решение уравнения (24.1) для спиральных волн в двумерной среде имеет вид , где в и г — полярные координаты, а величина определяет число элементарных волн, вращающихся вместе; называют также топологическим зарядом. Спиральная волна с на плоскости выглядит, как многозаходная спираль (рис. 24.4). Спиральные вихри приведенного вида, соответствующие жесткому вращению спирали вокруг неподвижной точки, в эксперименте наблюдать не удалось; не исключено, что они неустойчивы. В недавнем эксперименте [25] впервые наблюдались спиральные волны с топологическим зарядом, равным двум, трем и четырем, однако они оказались нестационарными.

Эксперимент проводился в среде, в которой реализовалась автокаталитическая реакция Белоусова-Жаботинского. Из рис. 24.5 видно, что волны в центре вихря пульсируют: то сближаются, то расходятся, однако структура в целом устойчива.

Качественно возможность существования спиральных волн в однородной ждущей среде, т. е. среде, составленной из активных элементов с конечным временем возбуждения и конечным временем восстановления (рефрактерности), можно пояснить из довольно простых соображений. Пусть в среде имеется локальное возмущение — пятно, внутри которого возбудимость элементов на время потеряна. Рассмотрим

Рис. 24.5. Пульсирующий спиральный вихрь с топологическим зарядом

распространение вокруг этого возмущения волны возбуждения. В общих чертах распространение этой волны можно представить себе как распространение импульсов по вложенным друг в друга концентрическим окружностям. Ясно, что ввиду ограниченности предельной скорости распространения импульсов их движение по различным окружностям должно быть неизохронным — возбуждение вблизи локальной неоднородности будет вращаться быстрее, на периферии — медленнее. Таким образом, вращающаяся вокруг спонтанно возникшей неоднородности волна возбуждения может быть только спиральной.

Ждущая среда (например, двумерный реактор, в котором происходит автокаталитическая реакция Белоусова-Жаботинского) демонстрирует еще один феномен самоорганизации — спонтанное возникновение ведущих центров. Ведущий центр представляет собой пульсирующий источник концентрически расходящихся волн. Существование такого источника (как и источника спиральных волн — ревербератора) трудно вывести из (24.1) аналитически (хотя такие работы сейчас имеются [7]), однако их довольно просто объяснить качественно.

Рассмотрим участок однородной среды из двух связанных между собой возбудимых элементов. Каждый из них, откликаясь на внешний импульс, совершает один цикл колебания — последовательно переходит из состояния покоя в состояние возбуждения, затем в состояние рефрактерности, после чего снова возвращается в состояние покоя. Динамика таких связанных элементов, очевидно, будет зависеть от фаз их колебаний и соотношения времени возбуждения и рефрактерности. Если время возбуждения превышает время рефрактерности, а состояния элементов соответствующим образом сдвинуты по фазе, то в системе из двух неколебательных элементов установится режим автоколебаний — элементы будут поочередно перезапускать друг друга и в однородной среде возникнет источник концентрических волн.

Рис. 24.6. Взаимодействие концентрических волн друг с другом при возникновении в среде нескольких ведущих центров

Подобных источников — ведущих центров в среде — может возникнуть несколько. При этом излучаемые ими концентрические волны будут взаимно уничтожать друг друга (рис. 24.6).