19.3. Солитоны как частицы

Будучи довольно сложными образованиями, солитоны и солитонные периодические решения (кноидальные волны) при взаимодействии друг с другом должны были бы вести себя очень сложно. Однако, судя по многим физическим и численным экспериментам, это не всегда так. Зачастую, наоборот, солитоны при взаимодействии ведут себя на удивление просто — отталкиваются, притягиваются или колеблются друг относительно друга (рис. 19.9), совсем как классические частицы! Как недавно было установлено, эта внешняя аналогия оказывается довольно глубокой по отношению к слабо взаимодействующим солитонам (или кноидальным волнам). Если различие скоростей (или, что то же самое, энергий) солитонов мало и на протяжении всего процесса расстояние между их максимумами остается большим по сравнению с эффективной шириной, их взаимодействие в буквальном смысле аналогично взаимодействию частиц и описывается уравнениями Ньютона. Солитон в поле «хвоста» другого солитона ведет себя, как шарик в желобе. Например, для пары солитонов получается уравнение [16]

где — расстояние между максимумами солитонов, описывает силовое поле хвоста одного солитона в месте расположения другого, зависимость скорости солитона от энергии. Уравнения, подобные (19.19), при малости взаимодействия выводятся из исходных уравнений для волн путем представления поля в окрестности каждого солитона (его параметры считаются медленно изменяющимися) в виде асимптотического ряда с использованием затем требования ограниченности слагаемых этого ряда.

Рис. 19.9. Столкновение ионно-акустических солитонов — концентрация частиц)

Рис. 19.10. Осциллирующая пара солитонов

После того как аналогия «солитоны-частицы» установлена (т. е. получено уравнение (19.19)), для описания взаимодействия солитонов достаточно знать лишь вид силовой функции , т. е. характер «хвостов» солитонов. Если функция монотонна, то солитоны отталкиваются либо притягиваются. Большинство найденных точных решений иллюстрирует отталкивание солитонов. Если же солитоны имеют осциллирующие «хвосты», как, например, солитоны капиллярногравитационных волн на мелкой воде или в нелинейной искусственной линии передачи с индуктивной связью между звеньями, то функция знакопеременна и солитоны то отталкиваются, то притягиваются, образуя осциллирующую пару (связанное состояние; рис. 19.10).

Аналогичным образом могут быть рассмотрены процессы взаимодействия и большого числа однотипных солитонов, поскольку характер «хвостов» не зависит от числа находящихся на нем солитонов.

Добавим, что эта аналогия между нелинейными волнами и колебаниями уже не столь тривиальна, как обсуждавшиеся нами ранее модовые аналоги.