1.4. Нормальные колебания. Аналогия с квантовой механикой. Операторы рождения и уничтожения

Вновь рассмотрим гармонический осциллятор, но будем исходить из его функции Гамильтона

где и — координата и импульс соответственно, а — собственная частота осциллятора. В гамильтоновой форме уравнения движения

осциллятора имеют вид

Умножим (1.28) на и сложим полученные выражения с (1.29). Тогда приходим к уравнениям

где комплексно-сопряженные величины а и а введены соотношениями

Решения уравнений (1.30) и (1.31) можно записать следующим образом:

Уравнения (1.30) и (1.31) называются уравнениями нормальных колебаний, часто называют просто нормальными колебаниями осциллятора [9, 10].

Заметим (это понадобится нам в дальнейшем), что наглядно могут быть представлены как вращающиеся в разные стороны векторы одинаковой длины.

Как видно из (1.32),

следовательно, по определению (1.27) функция Гамильтона имеет вид

В квантовой механике для гамильтониана осциллятора имеет место, как известно, соотношение

где а величины называют соответственно операторами уничтожения и рождения [11]. Добавочную по сравнению с классическим случаем энергию называют нулевой энергией осциллятора. В классическом пределе, когда мы будем не раз пользоваться выражением для числа квантов видно, что .

Рис. 1.13. К интерпретации операторов рождения и уничтожения (а) и оператора числа частиц N

В заключение остановимся на интерпретации энергетического состояния осциллятора, которую предложил и обосновал Дирак [11]: гамильтониан описывает систему из тождественных невзаимодействующих квантов, которые находятся в состояниях с энергией Мы уже говорили, что характеризует число частиц. Теперь это должно стать понятным; каждое из собственных значений оператора дает определенное число квантовых частиц, например, фотонов или фононов, о которых пойдет речь в гл. 3.

В квантовом случае, если на осциллятор, находящийся в состоянии с квантами, подействовать оператором он перейдет в состояние с квантами. Отсюда название оператора — оператор рождения. Если же на осциллятор в состоянии с квантами подействовать оператором а, то произойдет переход в состояние с квантами; поэтому а — оператор уничтожения. Сказанное об операторах и а иллюстрирует рис. 1.13.