Глава 23. Возникновение турбулентности

23.1. Общие замечания

В предыдущей главе мы говорили о возникновении стохастичности лишь в простых системах — системах с небольшим числом степеней свободы. Кажется совершенно очевидным, что в распределенных системах существование стохастических движений, не связанных с действием флуктуаций или шумов, должно быть еще более распространенным явлением. Действительно, стохастические движения сред или полей очень распространены в природе. Возможно, наиболее важным примером такого движения является случайное запутанное течение жидкости, возникающее при достаточно больших скоростях в отсутствие случайных внешних сил или полей (гидродинамическая турбулентность).

В то же время наличие бесконечного (или даже просто очень большого) числа степеней свободы в системе делает проблему выяснения механизма или природы стохастичности в каждом конкретном случае весьма сложной, хотя бы потому, что в таких системах может существовать большое число различных нелинейных режимов, которые реализуются при близких начальных условиях. Действие в этой ситуации даже слабого шума приведет к очень сложному и запутанному движению системы, статистические характеристики которого будут слабо зависеть от статистики действующего шума. Такие движения наблюдаются в экспериментах, в частности гидродинамических. Мы в этой главе их обсуждать не будем и сосредоточим внимание на случайном движении детерминированных распределенных систем, в частности на механизмах возникновения гидродинамический турбулентности, математическим образом которой является странный аттрактор.

Оговоримся сразу, что под турбулентностью мы понимаем стохастический автоколебания в распределенной системе, т. е. случайное движение нелинейной диссипативной среды или поля, совершающееся под действием неслучайных источников энергии.

Проблема турбулентности возникла в середине прошлого века, когда между теоретической гидродинамикой (с ее уравнениями Навье-Стокса) и прикладными задачами о течении жидкости или газа обнаружилось множество противоречий. Например, экспериментаторам было известно, что при достаточно больших скоростях течения жидкости по трубе сопротивление движению должно расти как квадрат средней (по сечению) скорости (закон Шези). Из теории же следовало, что сопротивление растет пропорционально первой степени скорости (закон Пуазейля). Первый шаг к примирению этих противоречий сделал О. Рейнольдс, опубликовавший в 1883 г. работу о результатах опытов с окрашенными струйками в потоке, где он ввел число диаметр, V — скорость, — кинематическая вязкость) и впервые связал закон Пуазейля с ламинарным течением жидкости, а закон Шези с турбулентным движением. Он установил, что ламинарное движение устойчиво только при а при больших числах возникает турбулентность. Так, для воды, текущей по трубе диаметром 1 см при комнатной температуре, ламинарный режим, как правило, кончается уже при средней скорости течения см/с.

Возникнув почти сто лет назад, проблема турбулентности, заключающаяся в выяснении природы случайного движения нелинейной среды и нахождения способов ее самосогласованного описания, остается и сейчас одной из самых притягательных и интригующих проблем в классической физике.

Главным в проблеме турбулентности — неупорядоченного, хаотического движения сплошной среды — во всех ее физических и иных проявлениях всегда был и остается вопрос о ее природе, т. е. причинах и механизмах возникновения хаоса.

В разное время появилось несколько вселявших энтузиазм моделей, которые претендовали на объяснение механизмов возникновения турбулентности в нелинейных средах, однако сравнительно быстро выяснилась их недостаточность. Наиболее долгоживущей оказалась модель Ландау-Хопфа, представляющая возникновение турбулентности как длинную цепочку последовательных неустойчивостей, в результате которых возбуждаются все новые и новые степени свободы и движение наконец становится очень сложным и запутанным.

Представление о том, что для перехода автоколебательной системы в турбулентное состояние необходимо возбуждение, если не бесконечного, то по крайней мере чрезвычайно большого числа степеней свободы, является очень распространенным. Это, очевидно, связано с уже упоминавшимся пониманием стохастичности динамических систем, которое

сформировалось в статистической механике: в газе движение каждой отдельной частицы в принципе известно и предсказуемо, но движение системы из очень большого числа частиц (даже невзаимодействующих), столь сложно, что динамическое описание теряет всякий смысл. Отсюда потребность в статистическом описании. Автоколебательный характер движения среды или поля по этим представлениям существен лишь на этапе установления стационарных пульсации — равновесие между отбором энергии у источника (например, среднего течения) и диссипацией определяет интенсивность «автоколебательных мод». В установившемся же режиме такой «газ автогенераторов», как кажется, не должен отличаться от идеального газа. Аналогичные представления лежат в основе упоминавшейся модели возникновения турбулентности, предложенной в 1944 г. Ландау [1] и независимо в несколько иной форме в 1948 г. Хопфом [2].

В соответствии с моделью Ландау-Хопфа турбулентность при увеличении числа Рейнольдса возникает в результате цепочки последовательных бифуркаций, благодаря которым устанавливается квазипериодическое движение где функция имеет период по каждому аргументу, — это несоизмеримые частоты. Первые бифуркации из этой цепочки очень просты: вначале устойчивое состояние равновесия превращается в неустойчивое и одновременно в его окрестности рождается устойчивый предельный цикл (так появляется затем возникшее периодическое движение теряет устойчивость и в окрестности исчезнувшего устойчивого цикла появляется двумерное многообразие — тор, частота обмотки которого несоизмерима с основной частотой (так появляется после чего это двухпериодическое движение становится неустойчивым и рождается трехмерный тор (возникает и т. д. При большом реализация такого квазипериодического процесса действительно выглядит случайной, в частности, его автокорреляционная функция быстро спадает (как а время до ее следующего максимума (период возврата Пуанкаре) есть где [3].

Естественная с точки зрения привычных представлений модель турбулентности в виде «газа» автоколебательных мод с несоизмеримыми частотами оказывается тем не менее верной лишь частично. Дело в том, что учет даже слабого взаимодействия «частиц» в таком «газе» может привести к неустойчивости интересующего нас многочастотного квазипериодического движения. В результате разрушения этого движения, представляемого в фазовом пространстве незамкнутой обмоткой тора может возникать и периодическое движение — предельный цикл,

и настоящее стохастическое — странный аттрактор. То, что в автоколебательной системе при малом изменении ее параметров квазипериодическое движение может перейти в периодическое, известно достаточно давно — это уже знакомое нам явление синхронизации (см. § 16.3). А вот возможность рождения странного аттрактора при разрушении квазипериодического движения, т. е. возможность установления в результате очередной бифуркации вместо движения с дискретным спектром движения, характеризуемого сплошным спектром, — стохастического, была доказана недавно Рюэлем и Такенсом [4].

Гидродинамическая турбулентность, описываемая уравнениями Навье-Стокса, имеет много общего с движением динамических систем, описываемых обыкновенными дифференциальными уравнениями, о которых шла речь в предыдущей главе. Связь эта определяется действием вязкости, которая лишает моды с высокими номерами самостоятельности. Хопфом даже была высказана гипотеза о том, что все множество траектории уравнения Навье-Стокса (его фазовое пространство бесконечномерно) притягивается к конечномерному множеству. Отсюда сразу следует, что при движение жидкости можно описывать конечномерными уравнениями. Эта гипотеза, правда, до сих пор не доказана, но она кажется совершенно естественной, если учесть, что вязкость препятствует существованию мелкомасштабных возмущений. Добавим, что уже обнаруженные для уравнения Навье-Стокса основные бифуркации носят конечномерный характер [5]. Это, например, переход стационарного устойчивого течения в периодическое (рождение из состояния равновесия предельного цикла), установление двухпериодического течения (рождение двумерного тора) и др. Поэтому есть все основания считать, что и очередная бифуркация — переход к неупорядоченному течению — для многих гидродинамических задач также окажется конечномерной.