18.2. Бегущие волны в нелинейной среде без дисперсии

Отсутствие дисперсии означает, что различные физические переменные при волновом движении среды мгновенно следят за изменениями друг друга, т. е. какие-либо независимые пространственно-временные масштабы (времена релаксации, периодичность структуры

Рис. 18.3. Зависимость тока сгруппированного в пространстве дрейфа пучка от начальной фазы влета электронов и от длины дрейфа (а-г) и траектории фазового фокуса, который образуется в плоскости (е)

и т. д.) в среде отсутствуют. В частности, для электромагнитных волн это возможно лишь в случае, когда материальные уравнения выражают функциональную зависимость между поляризацией и полем, т. е. связь между этими физическими величинами локальна во времени и пространстве. Такая локальность связи приводит к тому, что фазовая скорость малых синусоидальных возмущений не зависит от их частоты или волнового числа.

В линейных средах без дисперсии (см. гл. 4), как известно, возможно распространение без искажения и с постоянной скоростью волн произвольной формы, причем каждая из компонент поля в волне удовлетворяет одному и тому же уравнению , а различные физические переменные (компоненты изменяются пропорционально друг другу: . Ясно, что в нелинейной вреде волны такого вида, вообще говоря, существовать не могут, поскольку возникшие даже при малой нелинейности возмущения будут накапливаться и приведут к непрерывной деформации профиля волны. Однако ввиду отсутствия дисперсии одно из свойств упомянутых бегущих волн, по-видимому, должно сохраниться и в нелинейной среде, а именно

различные переменные в волне могут быть связаны друг с другом алгебраически (т. е. локально). Легко убедиться, что такие решения действительно существуют в нелинейных средах без дисперсии. Их и называют простыми волнами.

Поскольку все компоненты поля в простой волне выражаются алгебраически друг через друга, вместо исходной системы уравнений для ее описания можно получить одно уравнение первого порядка относительно какой-либо из компонент. Это уравнение должно описывать бегущую волну, скорость которой зависит от амплитуды поля, т. е.

Очевидно, что решение (18.6) удовлетворяет написанному выше уравнению (18.1), которое и есть уравнение простой волны. Из-за зависимости скорости волны от амплитуды, как мы видели на примере, малые возмущения на разных точках профиля распространяются с разными скоростями, что и приводит к изменению формы волны. Естественно, что (18.1) описывает простые волны любой физической природы, т. е. в этом смысле является универсальным.

Во многих случаях как с точки зрения математического описания, так и с точки зрения физического понимания механизма нелинейных процессов эволюцию нелинейных волн удобно рассматривать как взаимодействие отдельных квазигармонических волн. Обсудим на основании такого спектрального подхода основные феномены нелинейного процесса распространения волн в среде без дисперсии — деформацию простой волны и возникновение разрыва.

При сильной нелинейности говорить о взаимодействии отдельных гармоник не имеет смысла: их время жизни порядка времени взаимодействия и порядка периода; поэтому будем считать нелинейность малой. Тогда поле в среде можно описать системой уравнений вида

где А и В — постоянные матрицы, и — вектор, состоящий из компонент поля, а — вектор-функция, содержащая нелинейные (в общем случае и дисперсные, и диссипативные) члены.

Предположим, что вначале (при t = 0) мы создали в среде периодическое возмущение . Тогда при возмущение приняло бы вид бегущей волны:

с частотой определяемой дисперсионным уравнением среды Мы здесь для простоты рассуждений считаем, что данному действительному к соответствует лишь одно действительное решение дисперсионного уравнения относительно (остальные нормальные волны сильно затухают — им соответствуют комплексные корни

При малой нелинейности естественно попытаться искать решение системы (18.7) при указанных начальных условиях в виде, близком к бегущей синусоидальной волне, т. е.

где Пусть — полином по Тогда, отыскивая поправку по теории возмущений, получаем для амплитуд составляющих ее гармоник

Здесь компонента гармоники вектор-функции компонента гармоники вектор-функции — определитель матрицы — полином, стоящий в левой части дисперсионного уравнения, а — алгебраическое дополнение элемента этой матрицы.

Если дисперсия в среде отсутствует, то фазовые скорости всех гармоник совпадают и гармоника основной волны, которую здесь можно считать внешним полем, попадает в резонанс с собственной волной среды, т. е. удовлетворяет дисперсионному уравнению При этом функция оказывается секулярной: вблизи резонанса решение имеет вид биений:

а при стремлении разностной частоты к нулю (точный резонанс) линейно нарастает:

Таким образом, при отсутствии дисперсии в нелинейной среде амплитуды всех гармоник основной волны непрерывно растут и решение,

близкое к синусоидальной волне (18.9), быстро становится несправедливым. Причем нарастающие гармоники принимают участие в нелинейном взаимодействии порождают новые комбинационные волны. Из-за отсутствия дисперсии эти волны оказываются резонансными и их амплитуда увеличивается, в результате рождаются новые гармоники. Число взаимодействующих синусоид при этом лавинообразно увеличивается, и спектр волны непрерывно расширяется. Подчеркнем, что из-за бесконечного числа резонансов подобное расширение спектра приводит к непрерывному уменьшению энергии, запасенной вначале в произвольном, ограниченном сверху спектральном интервале. Процесс рассеяния этой энергии на вновь возникающих гармониках с уходящими в бесконечность частотами как раз и соответствует непрерывному увеличению крутизны профиля распространяющейся волны и образованию области бесконечно быстрого изменения полей — разрыва.

Рис. 18.4. Схема линии передачи с нелинейной емкостью (а); характеристики «среды» — модели (б-г) и изменение профиля волны при распространении в такой линии

Получим уравнение простой волны для линии передач с нелинейной емкостью (рис. 18.4 а). Исходные уравнения имеют вид

На рис. 18.46 приведена типичная зависимость заряда на конденсаторе от напряжения. Будем искать решение в виде простой волны, т. е. считать, что Тогда, вводя нелинейную емкость

имеем

Эти два уравнения для одной переменной; следовательно, коэффициенты при производных должны совпадать, т. е. или — аналог волновой проводимости. Отсюда знаки плюс и минус относятся соответственно к волнам, бегущим вправо и влево. Итак, для волн, распространяющихся вправо, мы получим уравнение

Это и есть искомое уравнение простой волны, где — ее скорость. Этому уравнению удовлетворяет решение Если — монотонно убывающая функция, то — монотонно нарастает (рис. 18.4 в, г). Таким образом, в простой волне точки, расположенные у вершины профиля волны, будут двигаться быстрее, чем точки у ее основания (это показано стрелками на рис. 18.4 д). Задний фронт волны будет растягиваться, а передний — становиться круче, и в некоторый момент в результате набега вершины зависимость от становится неоднозначной — происходит опрокидывание (рис. 18.4 д). Такая неоднозначность для электрического поля, естественно, лишена физического смысла, и далее решение в виде простой волны просто неприменимо. Заметим, что возникновение области бесконечно быстрого изменения физических величин во времени и пространстве есть результат пренебрежения дисперсией и диссипацией в исследуемой среде.

Рис. 18.5. Волновое возмущение в слое жидкости над твердым дном

Приведем несколько примеров распространения простых волн в сплошных средах, опираясь на соответствующие линейные задачи гл. 5. Начнем с анализа распространения волн в слое жидкости над твердым дном со средней высотой (рис. 18.5). Рассмотрим гравитационные

волны с длиной волны (это - условие малой глубины), распространяющиеся в положительном направлении оси х. Поскольку волны длинные, горизонтальную скорость V для всех высот (глубин) можно считать одинаковой и не зависящей от Тогда для V можно записать уравнение Эйлера в виде

Давление здесь следует понимать в смысле его среднего значения по высоте. Оно больше там, где выше жидкость, на величину по сравнению с давлением в невозмущенном слое. Таким образом, . В силу малой глубины канала можно не учитывать зависимость плотности от глубины z, т. е. считать жидкость несжимаемой: Для высоты надо записать еще уравнение непрерывности

которое выражает то обстоятельство, что скорость изменения высоты слоя связана с разностью потоков через бесконечно близкие сечения

Для удобства запишем уравнения (18.13) и (18.14) в виде системы

Это система нелинейных уравнений. Линеаризовав ее в окрестности равновесных значений и получив дисперсионное уравнение легко убедиться, что система не обладает дисперсией. На этом основании можно предположить, что переменные в волне будут связаны функциональной зависимостью, т. е. Учитывая это, вместо (18.15) получаем

Откуда следует, что или Таким образом, вместо двух уравнений системы (18.15) получили одно:

Из (18.16) находим, что скорость зависит от высоты точки на профиле волны. Совершенно аналогично получается уравнение,

описывающее распространение звуковой волны в газе [9]. Исходными в этом случае являются уравнение Эйлера

и уравнение неразрывности

которые в одномерном случае и с учетом того, что — скорость звука), переходят в систему

Умножая первое уравнение из системы (18.17) на и вычитая полученное уравнение из второго уравнения системы, находим, что . С учетом последнего из (18.17) имеем

Легко видеть, что (18.18) совпадает с (18.5), если перейти в систему координат, движущуюся со скоростью звука.

Уравнение, аналогичное (18.18), получается и для длинноволновых возмущений типа ионного звука в плазме с горячими электронами, если из-за большой электро- и теплопроводности считать электронную температуру плазмы постоянной. Тогда из уравнений (5.90)-(5.92) получаем следующие уравнения для распространения волн в такой плазме:

где . Проводя выкладки, аналогичные сделанным выше, придем к уравнению (18.18) с переменной вместо .

Уравнения (18.16) и (18.18) суть уравнения простой волны, а их решения — простые, или римановы, волны. Эти волны называют простыми именно потому, что они вместо системы уравнений описываются одним уравнением первого порядка.

Найдем уравнения простых волн в общем виде. Пусть вектор-функция характеризующая некоторую среду, удовлетворяет уравнению

где квадратные матрицы. Будем считать, что система (18.19) гиперболическая. В скалярной форме ее можно записать в виде

Полагая получим

Это система линейных уравнений относительно переменных . Для существования нетривиального решения необходимо и достаточно, чтобы

где Из получившихся уравнений находятся в общем случае различных значений соответствующих разным простым волнам.