5.2. Уравнения гидродинамики. Дисперсионное уравнение для звуковых волн

Ограничимся рассмотрением идеальной жидкости. Идеальной называется жидкость, при движении которой вектор напряжения в жидкости перпендикулярен любому элементу поверхности независимо от того, как он ориентирован в пространстве (т. е. выполняется закон Паскаля). Математически это означает, что давление в жидкости есть скаляр, а не тензор [2]. В этом случае в жидкости отсутствуют сдвиговые силы, в частности силы вязкости.

Согласно второму закону Ньютона уравнение движения элемента объема жидкости плотности можно записать в виде , где — скорость рассматриваемого элемента, — сила, действующая на каждый элемент объема . На любой выделенный объем V жидкости со стороны окружающей жидкости действует сила, равная интегралу от давления, который берется по поверхности выделенного объема, т.е. (Предполагается, что вектор равен площади элемента поверхности по абсолютному значению и направлен по внешней нормали к ней; отсюда знак минус перед силой.) Но по интегральной теореме о градиенте . Кроме того, на выделенный элемент может действовать внешняя заданная сила с плотностью Таким образом, и уравнение движения становится таким:

Учитывая в (5.1), что приходим к основному

уравнению гидродинамики — уравнению Эйлера:

Очевидно, что имеет место закон сохранения массы рассматриваемого объема: изменение во времени массы в данном объеме равно взятому с обратным знаком потоку массы через поверхность, ограничивающую этот объем, т. е.

или в дифференциальной форме

Это — уравнение непрерывности. Вектор называют плотностью потока жидкости.

В уравнениях (5.2) и (5.4) пять неизвестных: плотность, три составляющие скорости и давление, т. е. одного уравнения не хватает. Таким уравнением является уравнение термодинамического состояния.

Будем считать, что теплообмен между отдельными элементами жидкости отсутствует (жидкость течет с такой скоростью, что отдельные ее участки не успевают обмениваться теплом друг с другом) и что она не обменивается теплом с окружающими телами, с которыми соприкасается. Такое допущение означает, что движение происходит адиабатически в каждом элементе жидкости, т. е. энтропия отнесенная к единице массы жидкости, остается постоянной при перемещении этого, элемента в пространстве. Таким образом,

Умножим (5.4) на S, (5.5) — на , сложив полученные соотношения, получим Используя в последнем соотношении формулу приходим к уравнению непрерывности для энтропии

где плотность потока энтропии. Если в начальный момент времени распределение энтропии жидкости пространственно однородно, то

в любой момент времени. Такой адиабатический процесс, происходящий при постоянной энтропии, называется изэнтропийным. В этом случае уравнение состояния есть просто функциональная зависимость между плотностью и давлением: откуда

Линеаризуя уравнения (5.2), (5.4) относительно малых возмущений плотности, скорости и давления соответственно на фоне их равновесных значений получаем (считаем

В случае неподвижной среды вводя потенциал скорости получаем для возмущения давления . В результате из второго уравнения (5.9) следует известное волновое уравнение

где — скорость звука. Очевидно, что в декартовых координатах волновому уравнению удовлетворяет и каждая из трех компонент скорости (чтобы убедиться в этом, надо применить к волновому уравнению операцию и давление.

Если все переменные в волне зависят лишь от одной из декартовых координат (плоская волна), то уравнение (5.10) переходит в уже обсуждавшееся в гл. 4 одномерное уравнение которое имеет общее решение в виде суперпозиции двух встречных плоских волн:

Поскольку в рассматриваемом приближении дисперсии у звуковых волн нет, то закон дисперсии выглядит так:

Бегущие звуковые волны произвольной формы оказываются стационарными, т. е. их профиль в процессе распространения не меняется. Это легко пояснить на спектральном языке. Из-за отсутствия дисперсии все спектральные составляющие, образующие волну, движутся с одинаковыми скоростями, и фазовые соотношения между ними сохраняются.

В плоской акустической волне отлична от нуля только х-компонента скорости т.е. частицы в волне движутся только по (или только против) направлению распространения волны. Именно поэтому акустические волны в жидкостях являются продольными.

Если скорость среды, в которой распространяется звуковая волна, отлична от нуля, то закон дисперсии (5.11) уже будет нарушен. Например, если плоская волна распространяется в однородном движущемся вдоль х с постоянной скоростью потоке, то из (5.9) следует закон дисперсии:

Величина характеризует доплеровский сдвиг частоты акустической волны в движущейся среде относительно неподвижного наблюдателя. Если волна движется по потоку, ее частота возрастает на если против — уменьшается.