22.3. Генератор шума. Качественное описание и эксперимент

Исследование стохастичности конкретных динамических систем методами теории колебаний предполагает: выяснение структуры стохастического множества, понимание механизмов возникновения хаоса, нахождение критериев его существования и, наконец, приближенное (на основании выделения тех или иных малых параметров) описание поведения системы в стохастической области. Реализация этой программы возможна лишь для сравнительно простых систем с трехмерным фазовым пространством, допускающих описание с помощью двумерных, а приближенно — и одномерных отображений Пуанкаре. Рассмотрим в качестве примера работу простого радиотехнического генератора стохастических колебаний.

Что такое периодические автоколебания, мы хорошо знаем (см. гл. 14,16). Стохастические автоколебания — это неупорядоченные, случайные движения (неконсервативных динамических систем, совершающиеся под действием неслучайных источников энергии. Математическим образом стохастических автоколебаний в фазовом пространстве является странный аттрактор, о котором мы говорили в начале главы. Добавим здесь, что термин «странный», придуманный математиками Рюэлем и Такенсом в связи с очень сложной, канторовской [11], структурой аттрактора, сейчас ассоциируется просто со сложным неупорядоченным поведением траекторий на аттракторе.

Рис. 22.8. Схема простого генератора шума. Параметры контура: безразмерные параметры схемы: минимальные потери определяются сопротивлением Ом

Схема генератора шума, о котором мы сейчас будем вести речь, изображена на рис. 22.8. От привычного нам генератора Ван-дер-Поля с контуром в цепи сетки (рис. 14.16) она отличается лишь туннельным диодом, включенным последовательно с индуктивностью. Работа схемы описывается следующими уравнениями [12]:

Здесь емкость туннельного диода, — крутизна характеристики лампы, М — взаимная индуктивность. При рассмотрении работы схемы характеристику лампы будем считать линейной. Это оправдано тем, что в интересующем нас режиме колебания ограничиваются нелинейной характеристикой туннельного диода (рис. 22.9) на таком уровне, когда нелинейность лампы не сказывается.

Качественно работу генератора можно описать следующим образом. Пока ток I и напряжение V малы, туннельный диод не оказывает существенного влияния на колебания в контуре, и они нарастают. При этом через туннельный диод течет ток I, а напряжение на нем определяется участком а характеристики Когда же ток I достигает значения происходит почти мгновенное переключение туннельного диода (быстрота переключения связана с малостью емкости — скачком устанавливается напряжение Затем ток через туннельный диод уменьшается и происходит его обратное переключение — с участка .

В результате двух переключений туннельный диод почти полностью поглощает поступившую в контур энергию и колебания начинают снова нарастать.

Рис. 22.9. Вольт-амперная характеристика туннельного диода, используемого в схеме простого генератора шума

Таким образом, генерируемый сигнал представляет собой последовательность цугов нарастающих колебаний; конец каждого цуга сопровождается импульсом напряжения Из приведенного описания, конечно, не ясно, будет ли установившийся режим периодическим или стохастическим. Разобраться в этом можно, исследуя уравнения (22.8); это мы сделаем ниже, а сейчас приведем результаты эксперимента [12].

Схема рис. 22.8 была реализована на половине триода и на четырех параллельно соединенных туннельных диодах Инкремент нарастания колебании в контуре, т. е. величину удобно было изменять, меняя сопротивление Минимально достижимые потери в контуре определялись сопротивлением самих элементов схемы Ом. При Ом в контуре возбуждались чисто периодические колебания, которые ограничивались нелинейностью лампы на столь низком уровне, что диоды не переключались При и 13, 5 Ом амплитуда колебаний достигала порогового значения

и сигнал представлял собой длинные пачки колебаний, изредка прерываемые переключениями диодов. И только при Ом нелинейность триода не сказывалась — генерировался сигнал в виде цугов, внутри каждого из них колебания экспоненциально нарастали, а переход от одного цуга к другому сопровождался импульсом напряжения на туннельном диоде Ни при одном значении Ом не удалось обнаружить периодический режим — генерировался случайный сигнал со сплошным спектром. Из представленных на рис. 22.10 спектров и осциллограмм видно, как с уменьшением растет инкремент колебаний и уменьшается средняя длительность цуга — при этом в спектре сглаживаются пики на частотах повторения цугов. Большая часть энергии содержится в главном максимуме, соответствующем частоте колебаний контура.

При исследовании уравнений (22.8) перейдем к безразмерным переменным в результате получим

Здесь — инкремент нарастания колебаний в контуре в отсутствие диода, — параметр, определяющий степень влияния туннельного диода на процессы в контуре; — малый параметр, пропорциональный емкости туннельного диода, — нормированная характеристика диода (см. рис. 22.9).

Система (22.9) имеет малый параметр при производной, поэтому все движения в фазовом пространстве (рис. 22.11) можно разделить на быстрые — переключения диода (прямые — и медленные, при которых напряжение на диоде следит за током (соответствующие траектории лежат на поверхностях соответствующих участкам а и (3 характеристики диода).

Система имеет одно неустойчивое (при состояние равновесия типа «седло». Траектории, лежащие на поверхности А, раскручиваются вокруг неустойчивого фокуса и в конце концов достигают края поверхности В. Здесь происходит срыв изображающей точки по линии быстрых движений на поверхность В. Пройдя по В, изображающая точка срывается обратно на поверхность А и попадает в окрестность состояния равновесия — начинается новый нарастающих колебаний. Построенная картина движения и соответствует реализациям, представленным на осциллограммах рис. 22.10.

Рис. 22.10. Спектры осциллограммы выходного сигнала автогенератора шума при различных значениях Ом (верхнему рисунку соответствует наименьшее