12.5. Линейное взаимодействие волн в неоднородной среде

Выше неоднократно отмечалось, что в приближении геометрической оптики частичного отражения волн от неоднородной среды не происходит, т. е. волны распространяются независимо. Как решать задачу, чтобы такое отражение присутствовало в решении? Один из способов — найти поправки следующего приближения к ВКБ-решению, из-за

которых встречные волны оказываются связанными. Однако можно поступить иначе, применив другой метод, например метод Ван-дер-Поля. Сделаем это на примере конкретной задачи — задачи о переходном слое. Поставим задачу так: пусть есть слой ширины в котором свойства среды плавно изменяются. На границу слоя падает волна с амплитудой амплитуда встречной (отраженной) волны на границе равна нулю. Надо найти амплитуду волны, возникающей из-за отражения от плавных неоднородностей, т. е. найти амплитуду волны, распространяющейся в отриательном направлении оси х. Введем новую переменную и запишем для удобства (12.24) в виде системы двух уравнений первого порядка:

Решение системы (12.85) будем искать в виде (12.27), считая А и В функциями координаты:

Так как вместо одной переменной и мы ввели две новые (А и В), то одно соотношение, связывающее эти новые переменные, можно выбирать произвольно. Потребуем из соображений удобства, чтобы выполнялось равенство

Тогда Подставляя это выражение во второе уравнение системы (12.85), находим

Объединение этого уравнения с условием (12.86) дает следующую систему уравнений:

Разрешая эту систему относительно производных А и В, получаем

Уравнения (12.87) — точные уравнения: пока сделана всего лишь замена переменных — от и и V мы перешли к А и В. Но, поскольку неоднородность слабая, мала по сравнению с , следовательно, А и В изменяются медленно. Поэтому для решения (12.87) можно применить метод последовательных приближений, полагая в нулевом приближении

Подставляя во второе уравнение из (12.87), получаем

Учет поправки первого приближения дает

Это уже выход за рамки геометрической оптики: волны взаимодействуют друг с другом — амплитуды их связаны.

Рассмотрим еще один пример линейного взаимодействия волн, имеющий важное значение в СВЧ-электронике. В гл. 7 мы обсуждали распределенный ЛБВ-усилптель и распределенный ЛОВ-генератор. Одно из главных достоинств ЛБВ, ставшей основным прибором спутниковой связи, в том, что она обеспечивает большой коэффициент усиления в широком диапазоне усиливаемых частот (октава и более). Серьезной помехой работе усилителя является возбуждение паразитных автоколебаний на обратной волне (физика автоколебаний такая же, как в ЛОВ-генераторе). Популярный способ борьбы с паразитным самовозбуждением — увеличение пускового тока, необходимого для начала колебаний. Последнего можно добиться плавным изменением геометрических параметров замедляющей системы вдоль длины пространства взаимодействия, т. е. плавным изменением фазовой скорости обратной волны. В простейшей постановке возникает задача о линейном взаимодействии медленной волны пространственного заряда (МВПЗ) в электронном потоке (см. гл. 10) с обратной электромагнитной волной, фазовая скорость которой плавно изменяется вдоль направления движения

электронов Уравнение возбуждения продольной компоненты напряженности электрического поля Е такой обратной волны сгруппированным током обусловленным возбуждением в электронном потоке МВПЗ, имеет вид

где . В качестве второго уравнения используем уравнение (10.39):

Будем в дальнейшем использовать обозначения гл. 10.

Граничные условия к системе уравнений (12.88) и (12.89) сформулируем следующим образом:

где — неизвестная амплитуда напряженности электрического ВЧ-поля обратной волны. Исключая из уравнений (12.88) и находим

Будем искать решение уравнения (12.91) в виде

Тогда после подстановки выражения (12.92) в уравнение (12.91) для получаем уравнение

Пусть изменяется таким образом, что двумя слагаемыми можно пренебречь и считать, что Тогда вместо уравнения (12.93) имеем

где

Если теперь для выполняется условие применимости приближения геометрической оптики, то с учетом первого из граничных условий (12.90) получаем

где А — произвольная постоянная. Подставляя выражение (12.95) в уравнение (12.89), находим для распределения ВЧ-поля вдоль длины пространства взаимодействия следующее выражение:

Произвольная постоянная А может быть определена из второго граничного условия (12.90), но в этом нет необходимости, поскольку условие самовозбуждения колебаний на обратной волне

такое, что все постоянные выпадают — длина пространства взаимодействия). Чтобы получить простое аналитическое решение, будем

считать, что

С учетом выражений (12.98) и (12.96) из условия самовозбуждения (12.97) имеем

В наиболее просто реализуемом практически случае (как в плоскослоистой среде) из пусковых условий (12.99) и (12.100) находим

Если параметры исследуемой ЛОВ и соответствующей ей лампы с неизменной вдоль пространства взаимодействия фазовой скоростью обратной волны одинаковы, то из условий (12.101) и (12.102) следует такое отношение пусковых токов:

В общем случае (см. условия (12.99) и (12.100))

Из выражений (12.103) и (12.104) можно сделать вывод, что при отрицательных градиентах пусковой ток увеличивается, что позволяет указать способ повышения устойчивости ЛБВ-усилителя к самовозбуждению на обратной волне. Рассмотрены два очень простых примера линейного взаимодействия волн. Число подобных примеров можно продолжить, их тысячи, — и касаются они самых разных областей физики — гидродинамики, физики плазмы, электродинамики, акустики, а в последние годы — физики жидких кристаллов, ферродиэлектриков, световодов, планарных волноводов и др. Как считают авторы обзора [19], проблему линейного взаимодействия волн можно сейчас назвать важнейшей проблемой линейной теории колебаний

и волн. Исследования в этой области начались в 50-х годах нашего столетия при изучении распространения волн в ионосферной плазме (см., например, [18, 20, 21]), а также при исследовании нерегулярных волноводов в диапазоне СВЧ и акустических волн в слоистых средах (см., например, [22,13]). В чем же в общем случае проявляется линейное взаимодействие волн? Можно дать следующее определение. Явление линейного взаимодействия волн (линейной трансформации мод) состоит в том, что при прохождении волн через неоднородный участок среды их геометрооптические амплитуды могут изменяться неадиабатическим образом. Иными словами, линейное взаимодействие проявляется в отличии решений задачи о распространении волн в неоднородной среде от решений в приближении геометрической оптики: при прохождении излучения через неоднородную область среды отношение амплитуд и разность фаз волн, составляющих это излучение, изменяются иначе, чем следует из ВКБ-приближения, так что распространяющиеся волны перестают быть независимыми. Характер и масштаб неоднородности среды в области взаимодействия определяют трансформацию волн, исследуя которую можно получить сведения о структуре самой неоднородности. Более того, изменяя неоднородность, можно управлять эффективностью трансформации волн, а следовательно, интенсивностью и поляризацией проходящих и отраженных волн.

Изложим, следуя [19], постановку задачи о линейном взаимодействии волн в более менее общей физической ситуации — для волн любой природы в произвольной анизотропной неоднородной среде.

Пусть в стационарной среде без источников распространяется монохроматическая волна. Ограничимся рассмотрением одномерного случая и будем опускать фактор Тогда волновые уравнения для компонент поля можно записать (см., например, [20]) в виде системы дифференциальных уравнений первого порядка

Здесь введены следующие обозначения: -компонентный вектор-столбец комплексных полевых переменных

— квадратная матрица, определяемая локальными свойствами среды не содержит дифференциальных операторов и имеет одинаковый вид как для однородной, так и для неоднородной

среды); безразмерная пространственная координата вдоль направления х распространения волн; характерная скорость волн (в электродинамике — скорость света в вакууме). Частотная дисперсия учитывается зависимостью

Представим вектор-столбец комплексных полевых переменных в виде

где — нормальные волны, являющиеся полной системой собственных функций для матрицы Т в каждой точке среды; Соответствующие им собственные значения — показатели преломления — определим с помощью уравнения

Подставим (12.106) в систему (12.105) и перейдем к уравнениям для комплексных амплитуд взаимодействующих волн, считая Тогда

При получении (12.107) использована взаимная с система векторов таких, что — символ Кронекера. Эта система определяет так называемые «переносные» волны — собственные векторы транспонированной матрицы Ттёг так что матрица . Из системы (12.107) видна линейная связь (зависимость от при между волнами в неоднородной среде, где Из условия следует уравнение

для определения множителей Условие означает, что локальные значения показателей преломления взаимодействующих волн не зависят от неоднородности среды (см. (12.107)). Можно показать, что в приближении геометрической оптики уравнение (12.105) имеет независимые решения . В них Ф находятся из уравнения (12.108). Следовательно, в соответствии с (12.106) взаимодействие геометрооптических волн описывается изменением амплитуд Когда то из системы уравнений (12.107) получаем решение

в приближении геометрической оптики (решение метода ВКБ):

В неоднородной среде, когда решения уравнений (12.107) отличаются от ВКБ-решения (12.109). В этом отличии, как уже упоминалось, и проявляется линейное взаимодействие волн, которое состоит в том, что поляризация волны в приближении геометрической оптики (она задается компонентами волнового поля не сохраняется адиабатически такой, какой она локально должна быть для данной геометрооптической волны. Таким образом, с точки зрения геометрической оптики при взаимодействии волн различные компоненты поля меняются несогласованно и тем самым нарушают локальную структуру данной нормальной волны что приводит к появлению других волн.

В большинстве случаев рассматривают взаимодействие двух волн (попутных или встречных), которое описывается уравнениями

Приближение двух взаимодействующих волн справедливо, во-первых, для попутных волн, когда взаимодействуют только те две волны, дисперсионные ветви которых сближаются, и, во-вторых, для встречных волн, когда ветви близки друг к другу. Особо подчеркнем, что явление линейного взаимодействия не только связано с характером поведения дисперсионных ветвей волн, но в неменьшей степени определяется характером их поляризации.

В обзоре [19] изложен качественный анализ линейного взаимодействия волн, описываемого системой (12.110). Этот анализ позволяет выяснить возможность появления и степень эффективности взаимодействия волн. Кроме того, он позволяет выявить характерные зависимости эффекта трансформации волн от свойств неоднородной среды.

Не будем далее останавливаться на математической стороне вопроса (см. [19]). Опишем лишь кратко особенности взаимодействия мод в волноводных системах, когда трансформация волн происходит из-за неоднородности границ. В качестве примеров здесь можно упомянуть

неоднородные длинные линии, нерегулярные волноводы, планарные и волоконные световоды и др. Уравнения, описывающие взаимодействие волн в указанных системах, такие же, как уравнения (12.110), но коэффициенты связи волн определяются локальными свойствами границ. Явление взаимодействия волн обусловлено в обсуждаемых случаях нерегулярностью связи мод вдоль волновода, а не просто их связью (в этом отличие от случаев взаимодействия волн с неизменными постоянными распространения и неизменными коэффициентами связи вдоль всей области взаимодействия (см., например, гл. 10).

В качестве конкретного примера рассмотрим моды в скрученном световоде. Благодаря тому что освоена технология изготовления волокон, сохраняющих поляризацию излучения на длинах в сотни метров и более, а также в связи с перспективой применения таких волокон в технике оптической связи и т. п. заметно активизировались исследования поляризационных свойств одномодовых волоконных световодов (см., например, [23]). В регулярном двулучепреломляющем одномодовом световоде, который аналогичен анизотропной среде, распространяются две основные моды с разными фазовыми скоростями, поляризованные практически линейно и ортогонально друг к другу (так называемые ХР-моды) [19]. Вырождение мод в реальном волокне с круглым сечением снимается из-за изгибов, неизбежной эллиптичности сечения сердцевины и т. п. Уравнения распространения связанных -мод в слабонаправляющем и слабоанизотропном световоде, приведенные в [19], имеют следующий вид:

где — амплитуды основных мод, z и у — локальные основные оси волокна (в поперечном сечении), а — коэффициент связи, являющийся действительной величиной. Этот коэффициент определяется деформацией сердцевины волокна, воздействием внешних полей, анизотропией и гиротропией стекла, а в скрученном волноводе — азимутальным вращением оптических осей. В последнем случае коэффициент связи а приблизительно равен локальной пространственной скорости вращения оптических осей и может достигать значений порядка (заметим, что пространственный период биений основных мод равен При этом свойства нормальных волн световода сильно изменяются. Особенно важно, что их поляризация становится эллиптической, что видно из выражений для показателей

преломления и коэффициентов поляризации где нормальных мод равномерно скрученного волокна. Соответствующие соотношения, которые легко находятся из системы (12.111) при имеют вид

Эти моды принято называть винтовыми. В неравномерно скрученном световоде, где и не являются постоянными, возникает взаимодействие винтовых мод, которое описывается системой (12.110). В данном конкретном случае качественный анализ [19] этой системы приводит к выводу, что эффективное взаимодействие винтовых мод имеет место только на тех участках световода, где есть переход от сильно скрученного (в масштабе периода биений мод) к слабо скрученному волокну или наоборот. В ряде применений (например, оптическая связь) трансформация волн нежелательна и нужно ликвидировать нерегулярные участки взаимодействия. В других случаях, например для измерения локальных оптических характеристик волокна, нужна, наоборот, эффективная трансформация мод. Отметим в заключение, что область приложения эффектов линейной трансформации волн непрерывно расширяется.