7.2. Примеры неустойчивостей

Неустойчивость Джинса. Рассмотрим в рамках уравнений гидродинамики устойчивость покоящегося в пространстве однородного распределения гравитирующего газа [1]. Линеаризуя на фоне такого стационарного решения уравнения гидродинамики:

где — плотность, — скорость, — давление, Ф — потенциал гравитационного поля, — гравитационная постоянная, для одномерных возмущений плотности получим следующее волновое уравнение:

Здесь — квадрат изотермической скорости звука. Это уравнение описывает эволюцию возмущений на фоне стационарного решения системы (7.4) вида . В то же время при не является решением уравнения Пуассона (7.4 в). Однако при анализе устойчивости стационарного решения с вблизи центра ограниченной области считается хорошим приближением [1]. Для возмущений вида из (7.5) следует дисперсионное уравнение

Отсюда сразу видно, что при однородное распределение плотности неустойчиво: На нелинейной стадии процесса это приводит к возникновению гравитационных «капель» (у нас они одномерные) с пространственным масштабом Максимальный инкремент соответствует и равен Вид дисперсионных кривых уравнения (7.6) приведен на рис. 7.3 а. Заметим, что закон дисперсии (7.6) одновременно описывает и волновые возмущения в уже упоминавшейся системе связанных маятников (в длинноволновом приближении), только в отличие от рис. 7.2, в этом случае речь идет об устойчивости стационарного состояния, в котором все маятники «стоят вверх ногами» (рис. 7.3 б).

Рис. 7.3. Дисперсионные кривые уравнения (7.6) (а) и описываемые уравнением (7.6) колебания (в плоскости, перпендикулярной рисунку) в системе связанных маятников (б)

Таким образом, в рассматриваемой системе (7.5) имеется неустойчивость. Обсуждение вопроса, абсолютная эта неустойчивость или конвективная, мы отложим до следующего параграфа.

Неустойчивость Тьюринга. В 1952 г. Тьюринг рассмотрел модель кинетики химических реакций с учетом диффузии. В рамках этой модели обнаружилась неустойчивость, приводящая к возникновению пространственных структур. По этой причине модель Тьюринга и сходные с ней модели вызвали чрезвычайный интерес как модели возникновения структур в биологических системах [2-5]. Мы сейчас рассмотрим устойчивость стационарного состояния в рамках простейшей модели Тьюринга, описывающей взаимодействие всего лишь двух веществ с концентрациями в одномерном реакторе:

Здесь — коэффициенты одномерной диффузии, происходящей вдоль координаты х.

Свяжем систему уравнений (7.7) с конкретной системой химических уравнений:

Для простоты будем считать, что кинетические коэффициенты . Тогда

система соответствующих кинетических уравнений, дополненная слагаемыми, учитывающими одномерную диффузию вдоль координаты имеет вид

Модель, описываемая уравнениями (7.8), была предложена Пригожиным и Лефевром [5] и носит название тримолекулярной модели или брюсселятора. Это — основная элементарная модель, используемая для описания процессов в химической кинетике.

Однородное по пространству стационарное состояние системы уравнений (7.8) (т. е. когда имеет вид

Для исследования данного состояния на устойчивость найдем уравнение для малых отклонений от (7.9). Полагая и линеаризуя (7.8), получаем

Решение системы уравнений (7.10) будем искать в виде концентрационных волн

где — неизвестная круговая частота, а k — неизвестное волновое число. Подставляя (7.11) в (7.10), находим характеристическое уравнение

где

Пусть Если речь идет об устойчивости стационарного состояния во времени, следует определить расположение корней уравнения на комплексной плоскости Система без диффузии, таким образом, устойчива, когда

Может ли диффузия превратить устойчивое в рамках гомогенной модели состояние (7.9) в неустойчивое?

Как следует из (7.12), система будет неустойчивой при , откуда при учете (7.13) получается условие

Для выполнения этого неравенства должно находиться в интервале, границы которого определяются из равенства , т. е. в интервале, где

Напомним, что теперь

Мы получили, следовательно, положительный ответ на наш вопрос: появление в реакторе диффузии действительно приводит к неустойчивости. Замечательно, что эта неустойчивость весьма избирательна — нарастают периодические в пространстве возмущения с пространственным периодом, лежащим в ограниченном интервале.

Приведем здесь еще два примера, иллюстрирующих работу распределенных СВЧ-усилителя (лампа бегущей волны — ЛБВ) и генератора (лампа обратной волны — ЛОВ). В гл. 4 мы обсудили в связи с объяснением пространственного резонанса распределенный усилитель — лампу бегущей волны (см. рис. 4.24). Там же говорилось, что для правильного описания процесса усиления к уравнению возбуждения волноведущей системы без потерь током электронного пучка

(в обозначениях § 4.4) нужно добавить уравнение (М — оператор), учитывающее обратное влияние волноведущей системы на

пучок и описывающее группирование электронов в сгустки. Уравнение (7.17) получено в предположении, что все переменные величины изменяются во времени как причем действительная величина, поскольку лампа бегущей волны — усилитель, в котором вдоль длины лампы происходит экспоненциальное нарастание сигнала вполне определенной частоты, задаваемой внешним сигналом-генератором.

Пусть электронный поток описывается гидродинамическими уравнениями. Будем считать, что этот поток заполняет все пространство, но движение его одномерно, т. е. в направлениях, перпендикулярных направлению движения, ничего не меняется (в СВЧ-электронике эта модель называется моделью бесконечно широкого пучка). Тогда для описания такой заряженной жидкости (столкновением частиц, т. е. вязкостью, пренебрегаем) достаточно уравнения Эйлера для скорости

уравнения непрерывности

и обобщенного уравнения Пуассона, связывающего градиент электрического поля объемного заряда с плотностью объемного заряда электронной жидкости:

Электронный поток предполагается ионно-скомпенсированным, т. е. в целом среда из заряженных частиц электрически нейтральна.

Так как нас интересует вопрос об устойчивости, то достаточно рассмотреть линеаризованные уравнения, полагая и плотность тока , где — постоянные составляющие соответствующих величин, а — малые возмущения этих величин (любое возмущение много меньше соответствующей постоянной величины). Линеаризованные уравнения (7.18)-(7.20) имеют вид

или, поскольку

Полагая, что все переменные величины изменяются во времени по закону и вводя оператор перепишем (7.21)-(7.23) следующим образом:

При выводе (7.24) использованы уравнения (7.23) и уравнение непрерывности в виде

Исключая в системе уравнений и получаем

Простейший способ перехода от бесконечного широкого электронного потока к пучку с конечным поперечным геометрическим сечением состоит во введении вместо плазменной частоты редуцированной плазменной частоты , где — коэффициент редукции который учитывает влияние на пучок окружающих стенок [6].

Тогда для тока сгруппированного в пучке под действием поля волноведущей системы, из (7.25) имеем

где — постоянный ток пучка, — ускоряющее напряжение пучка. Условие совместности самосогласованной системы уравнений (7.17) и (7.26) в предположении, что V и Е изменяются в пространстве, как где к — волновое число, приводит к дисперсионному уравнению

— известный в теории ЛБВ параметр усиления [7]. Нетрудно видеть из уравнения (7.27), что во взаимодействии

участвуют одна волна волноведущей системы и две волны пучка — быстрая волна пространственного заряда и медленная волна пространственного заряда Необходимым условием усиления в пространстве является комплексность волнового числа при действительной частоте причем поскольку для волн, бегущих вправо, то неустойчивость в пространстве будет лишь тогда, когда

Рис. 7.4. Зависимость а и от параметра рассинхронизма между пучком и «холодной» волной; соответствует волне, растущей с расстоянием [8]

На рис. 7.4 решение уравнения (7.27) при показано в виде зависимостей от параметра рассинхронизма между пучком и «холодной» волной. Предполагается, что влиянием затухания и сил пространственного заряда на взаимодействие можно пренебречь. Легко видеть, что при достигается максимальное значение инкремента и что область неустойчивости ограничена значением и 1,89.

Во второй половине 50-х годов разразилась дискуссия, начатая Пиддингтоном в работе [9], в которой отвергалась существовавшая тогда теория ЛБВ и двухлучевой лампы (о ней речь в этой главе пойдет дальше). Он считал, что пространственное нарастание волны предсказано теорией неверно и что ошибка состоит в неправильном толковании дисперсионного уравнения. Пиддингтон показал, что иногда экспоненциально затухающие вдоль оси х волны можно по ошибке принять за усиливаемые, но и сам ошибся в окончательном выводе, решив, что случай комплексных к при действительных всегда соответствует непропусканию.

Остановимся еще на одном примере — ЛОВ. В ЛОВ электронный пучок движется через искусственную среду, в которой могут распространяться волны с продольным электрическим полем; дисперсия этой среды такова, что фазовая скорость волны на некоторой частоте О равна скорости электронов, а групповая скорость отрицательна, т. е.

В реальных приборах искусственной средой с нужными свойствами

служит периодическая электродинамическая структура — замедляющая система. Благодаря условиям (7.28) при взаимодействии потока электронов с волной в системе реализуется распределенная обратная связь — малые волновые возмущения, распространяющиеся со скоростью бегут навстречу потоку и тем самым связывают выход системы с ее входом. При этом возможно либо усиление (регенеративное), либо самовозбуждение лампы. В электронике ЛОВ используется, главным образом, для генерации монохроматических колебаний СВЧ-диапазона (схематическое изображение ЛОВ приведено на рис. 23.6 [10, 11]).

Легко показать, что дисперсионное уравнение системы электронный пучок — обратная электромагнитная волна имеет вид

т. e. отличается от уравнения (7.27) только знаком в правой части. Если речь идет о самовозбуждении системы, то неизвестны ни ни к. Каково условие неустойчивости? Поскольку нас интересует генерация, то следует интересоваться неустойчивостью во времени. Тогда возникает вопрос: какой смысл в данном случае имеют комплексные значения Обычно ответы на эти вопросы находятся совместным решением уравнений типа (7.17) (для ЛОВ в этом уравнении нужно изменить знак в правой части) и (7.26) при начальных или граничных условиях, соответствующих физике задачи.

Так, из уравнения (7.27) следует, что поле Е и сгруппированный ток можно описать тремя волнами:

Неизвестные амплитуды определяются для ЛБВ из начальных условий

где — амплитуда входного сигнала, второе условие означает, что пучок не сгруппирован на входе, а третье условие — что пучок на входе не модулирован по скорости. Тогда можно найти распределение поля вдоль длины пространства взаимодействия. Из решения следует, что на достаточно большой длине доминирует волна с которая и определяет коэффициент усиления ЛБВ. Например, при коэффициент

усиления равен

где — число длин волн, укладывающихся по пространству взаимодействия.

В случае ЛОВ генератора для определения условий возникновения колебаний следует решать краевую задачу, полагая (входной сигнал отсутствует). Тогда получаются следующие значения пусковых параметров, при которых возникают колебания: При значении мало отличающемся от решения (7.29) можно искать в виде что приводит к уравнению При корни этого уравнения [11]. Очевидно, что волна с не играет той роли, какую она играла в ЛБВ, а поле определяется суперпозицией всех трех волн, поскольку иначе не выполнить граничного условия При подобном подходе, однако, возникают очевидные трудности, связанные с необходимостью решения краевой задачи. В то же время было бы желательно не решать задачу с начальными и тем более краевыми условиями, а ограничиться рассмотрением лишь безграничных систем, т. е. анализом дисперсионного уравнения, и с его помощью отвечать на все вопросы об устойчивости.