12.3. Распространение волн в неоднородных средах. Приближение геометрической оптики

Распространение волн в неоднородных средах — средах, свойства которых изменяются в пространстве, — отличается разнообразием возможностей. Однако математически задачу о распространении гармонической волны в неоднородной среде можно в большинстве случаев свести к отысканию решения уравнения Гельмгольца

для скалярной функции . Понятно, что решение уравнения (12.23) в первую очередь определяется различным выбором функции

Наиболее простой задачей является случай, когда зависит только от одной координаты, например от координаты х декартовой системы, что соответствует слоисто-неоднородной среде. В некотором приближении такими средами являются атмосфера и ионосфера Земли, морская вода, земная кора, оптические волокна и др.

В общем случае распространение плоской волны в среде, свойства которой зависят от х, описывается уравнением

где — функция, характеризующая свойства среды (для электромагнитных волн это диэлектрическая проницаемость) и плавно изменяющаяся вдоль — фазовая скорость волны (физическая природа волны нам пока не важна) в однородной среде.

Будем интересоваться стационарным распространением монохроматической волны, т. е. будем считать, что

и амплитуда волны не зависит от времени. Это значит, например, что в случае падения волны вида на границу среды мы должны подождать достаточно долго, чтобы в среде установился стационарный процесс. Для решения типа (12.25) уравнение (12.24) преобразуется следующим образом:

где Плавность неоднородностей среды предполагает, что на длине волны величина практически не меняется Уравнение (12.26) аналогично уже исследованным уравнениям (12.1) или (12.22) с той лишь разницей, что здесь происходит изменение амплитуды вдоль координаты, а не во времени, как в (12.1) и (12.22). Делая замену снова получаем уравнение Рикатти где — большой параметр. Отыскивая решение в виде для нулевого и первого приближений будем иметь соответственно Теперь оба знака в имеют ясный физический смысл: они соответствуют прямой и встречной волнам. Решение уравнения (12.26) также имеет вид ВКБ-решения:

которое соответствует так называемому приближению геометрической оптики. Здесь А и В — постоянные, т. е. в рассматриваемом приближении, несмотря на неоднородность среды, рассеяния и преобразования волн друг в друга не происходит. Если, например, встречной волны не было, то она и не появится, а если была, то ее амплитуда не изменится, поскольку встречные волны независимы — волна, распространяясь, деформируется, но не взаимодействует со встречной. Это происходит из-за того, что изменяется плавно, и отраженная волна экспоненциально мала.

Следует заметить, что к уравнению типа (12.26) приводят многие физические задачи. Перечислим несколько из них, относящихся к СВЧ-электронике.

При анализе неустойчивости электронного потока, дрейфующего в скрещенных электростатическом и магнитостатическом полях, обычно используется модель, в которой электроны без высокочастотных возмущений при любой плотности потока движутся прямолинейно с

поперечным градиентом скорости плазменная и циклотронная частоты.

Для анализа высокочастотных волновых процессов в такой модели предполагается, что все переменные изменяются во времени и в направлении распространения волны (вдоль координаты х) по закону Тогда для зависимой переменной связанной с у-компонентой скорости формулой уравнение имеет вид

где (вместо безразмерной координаты). Решение этой задачи и нахождение поправок к ВКБ-приближению обсуждаются, например, в [9].

В СВЧ-электронике решение (12.26) используется также в теории распространения волн пространственного заряда в ускоренном электронном потоке [10].

Ввиду важности приближения геометрической оптики для решения многих физических задач остановимся на основных вопросах теории распространения волн в среде, свойства которой достаточно медленно изменяются вдоль направления распространения, следуя традиционной форме изложения. Это позволит и более глубоко понять физический смысл приближения.

Предположим, что амплитуда и направление распространения волны изменяются сильно лишь на расстояниях много больших длины волны А. В этом случае можно разбить все пространство на участки , на которых волну можно считать плоской, а среду — однородной. В результате такого разбиения выделяем поверхности (волновые поверхности), на которых фаза волны в данный момент времени постоянна, и определяем направление распространения волны в каждой точке как направление нормали к волновой поверхности в этой точке. Обычно вводят также понятие луча — линии, касательная к которой 7в каждой точке совпадает с направлением распространения волны в этой точке (определение справедливо для изотропных сред, рассмотрением которых ограничимся). Последнее позволяет свести задачу о распространении волн к задаче о распространении лучей и перейти к

приближению геометрической оптики. Таким образом, геометрическая оптика отвлекается от волновой природы лучей, что накладывает следующее ограничение на размеры выделенных выше участков однородности:

Выведем основное уравнение геометрической оптики, которое называется уравнением эйконала.

Пусть поле монохроматической волны описывается функцией

где — действительные функции, — радиус-вектор текущей точки. В случае плоской волны функция постоянна на поверхности фронта, который определяется уравнением Будем считать, что изменяются заметным образом на расстоянии , т. е.

Иными словами, будем предполагать, что свойства среды мало изменяются на расстояниях порядка длины волны.

Подставим функцию (12.29) в уравнение (12.23), полагая далее где — показатель преломления неоднордной среды. После простых преобразований получим

Слагаемые, входящие в уравнение (12.32), имеют разный порядок малости. Если исходить из того, что изменяются на расстоянии порядка то

а последнее слагаемое от не зависит. Пренебрежем первым слагаемым в уравнении (12.32) и приравняем нулю действительную и мнимую части получившегося уравнения. Получим

Уравнение (12.33) называется эйконалом, поскольку оно определяет фазу (эйконал). Уравнение (12.34) связывает амплитуду и фазу волны и называется уравнением переноса. Процесс распространения волны приближенно описывается уравнениями (12.33) и (12.34) в том случае, когда

т. e. когда отброшенное слагаемое меньше каждого из двух слагаемых следующего порядка малости, оставшихся в уравнении. Неравенства (12.35) и (12.36) являются количественным критерием применимости приближения геометрической оптики.

Более корректный способ получения уравнений типа (12.33) и (12.34) состоит в пренебрежении малыми слагаемыми не в уравнении, а в решении, т. е. это способ, близкий к использованному при получении уравнений (12.5). Будем искать решение в виде ряда по степеням

Подставляя разложение (12.37) в уравнение (12.23) и приравнивая члены одного порядка малости, получаем следующие уравнения:

Уравнения (12.38) и (12.39) совпадают с уравнениями эйконала и переноса. Определив Ф и найдем и т. д.

Основным уравнением геометрической оптики считают уравнение эйконала — нелинейное уравнение в частных производных первого порядка:

Введем обозначения тогда и уравнение (12.41) превращается в систему обыкновенных дифференциальных уравнений:

где — элемент траектории луча, а величина введена как независимая переменная, смысл которой будет ясен из дальнейшего. Приравнивая каждый член в системе (12.42) последнему, получаем

Введем новые переменные: которые являются направляющими косинусами луча Используя их, легко показать, что из уравнений (12.43) следует уравнение

Поскольку из соотношения находим, что Из последнего соотношения видно, что есть длина кривой единичный вектор, касательный к кривой

При т. е. в однородной среде, уравнение (12.44) превращается в уравнение . В результате интегрирования последнего получаем для уравнение прямой линии что очевидно, так как в однородной среде лучи прямолинейны. В общем случае, когда уравнение (12.44) вместе с граничными условиями, задающими направление луча при позволяет найти траекторию луча . Когда траектория луча найдена, эйконал (или фаза) может быть определен из уравнения в виде криволинейного интеграла вдоль траектории луча в следующем виде:

Лучи ортогональны к поверхностям Поскольку волна в геометрической оптике рассматривается как пучок лучей, изменение

интенсивности вдоль луча можно найти, используя уравнение переноса (12.34), которое удобно записать в другой форме, умножая (12.34) на и учитывая, что . Тогда получим уравнение, эквивалентное уравнению переноса, в такой форме:

Но и поэтому из уравнения (12.46) следует, что

Рассмотрим некоторую поверхность и выделим на ней маленькую площадку ограниченную пучком лучей, на которой Проведем эти лучи до пересечения с другой поверхностью на которой пучок ограничит площадку Проинтегрируем уравнение (12.47) по объему, заключенному внутри выделенной лучевой трубки. Тогда согласно теореме Гаусса

где — единичный вектор внешней нормали к поверхности, так что на боковой поверхности трубки скалярное произведение на поверхности а на поверхности . Таким образом, внутри лучевой трубки

где — текущее сечение трубки, пропорционально плотности потока энергии, пропорционально энергии, переносимой волной вдоль лучевой трубки. Из уравнения (12.49) для интенсивности имеем

Выше было показано, что в однородной среде лучи распространяются прямолинейно. Какова интенсивность волны в этом случае? Выделим на какой-либо волновой поверхности анализируемого пучка элемент как это показано на рис. 12.1. В точке О пересечения луча с данной волновой поверхностью последняя имеет в общем случае два различных радиуса кривизны, центры которых лежат на луче Пусть — элементы двух главных кругов кривизны, проходящих через точку тогда центры этих кругов лежат в точках

и Длины отрезков пропорциональны соответственно радиусам а площадь элемента волновой поверхности Тогда из уравнения (12.50) находим, что

Рис. 12.1. Элемент волновой поверхности, используемый для расчета интенсивности волны в однородной среде

Из формулы (12.50) можно сделать вывод, что интенсивность вдоль луча есть функция расстояния от определенных центров кривизны волновых поверхностей (определенных точек на луче). Если оба радиуса кривизны совпадают, то

а поле волны

Как следует из формул (12.52) и (12.53), пучок лучей испускается точечным источником или сходится в точку, а волновые поверхности — концентрические сферы. При или (в центре кривизны волновых поверхностей) интенсивность обращается в бесконечность. Рассмотрим, учитывая это свойство, всевозможные лучи пучка. Такое рассмотрение приводит к выводу, что интенсивность волны обращается в бесконечность на двух поверхностях, являющихся геометрическим местом всех центров кривизны волновых поверхностей. Эти поверхности являются каустиками. Они являются геометрическими огибающими системы лучей, т. е. в рамках геометрической оптики поле за каустикой равно нулю — лучи за нее не проникают. В рассмотренном случае лучей со сферическим волновым фронтом обе каустические поверхности сливаются в одну точку — фокус.