5.6. Волны в плазме. Гидродинамическое описание

Основные уравнения. Как известно [12, 14], совокупность свободно движущихся разноименно заряженных частиц (ионизованный газ) называется плазмой, если дебаевский радиус мал по сравнению с размерами объема, занимаемого газом.

Напомним физический смысл радиуса Дебая. Плазму можно рассматривать как смесь трех компонентов — свободных электронов, положительных ионов и нейтральных атомов или молекул. Квазинейтральность плазмы, т. е. приблизительное равенство плотностей электронов и ионов, определяется электрическими силами, которые связывают отрицательные и положительные заряды в плазме. При смещении группы электронов относительно ионов, т. е. при разделении зарядов, возникают электрические поля, стремящиеся восстановить квазинейтральность.

Пусть в каком-то объеме после возмущения остались заряды одного знака, что соответствует полному разделению зарядов. Если объемная плотность заряда — концентрация частиц, — заряд частицы), то поле в выделенной области удовлетворяет уравнению Очевидно, что для области с линейными размерами порядка х имеем что соответствует изменению потенциала плазмы в области разделения зарядов на величину Если разность потенциалов V велика, то разделения зарядов не будет: сильное поле вытолкнет из объема, где нарушена квазинейтральность, частицы с зарядом одного знака и втянет частицы другого знака. Что будет, если выделенный в плазме объем

мал настолько, что поле, созданное избытком в нем частиц одного знака, слабо и не может существенно изменить движение частиц? В таком объеме, для которого характерный линейный размер), при заданных концентрации и температуре плазмы возможно нарушение квазинейтральности плазмы. Оценим

Если в области с линейным размером порядка произошло полное разделение зарядов, то потенциальная энергия заряженной частицы имеет порядок тепловой энергии частиц, т. е. — постоянная Больцмана, Т — температура плазмы, которая пока принята одинаковой для электронного и ионного компонентов). Таким образом,

Эту величину называют радиусом экранирования. Дело в том, что при введении в плазму пробного точечного заряда вокруг него образуется область сильного электрического поля, ограниченная сферой, радиус которой равен (радиус Дебая, или дебаевская длина). Таким образом, радиус Дебая — это характерный пространственный масштаб областей декомпенсации плазмы, а рассматриваемому нами случаю соответствует условие Время в течение которого сохраняются области декоменсапии, пропорционально где скорость электронов (наиболее быстрых частиц) определяется из соотношения — масса электрона). Тогда характерный временной масштаб декомпенсации плазмы

Замечательно, что это время от температуры уже не зависит. Соответствующая этому времени частота

называется плазменной.

Сделаем еще два замечания о концентрации и температуре плазмы. Поскольку в плазме могут быть помимо однозарядных и многозарядные ионы, концентрации электронов и ионов не обязательно равны. Кроме того, так как массы электронов и ионов сильно различаются,

плазма в общем случае характеризуется двумя температурами — электронной Те и ионной Лишь когда средние кинетические энергии электронов и ионов близки, можно говорить просто о температуре Т плазмы.

Для описания распространения волн малой амплитуды в плазме удобно использовать модель двухжидкостной гидродинамики, в рамках которой плазма представляется смесью электронной и ионной жидкостей.

Модель работает, когда характерный пространственный масштаб много больше длины свободного пробега и характерный временной масштаб (характерная длительность процессов) много больше времени между двумя столкновениями. Подобно обычной гидродинамике, для полного описания плазменной жидкости достаточно задать скорость любого компонента плотность и температуру

Движение единичного объема ионного (индекс ) или электронного (индекс е) компонента плазмы подчиняется второму закону Ньютона: где — сумма сил, действующих на этот объем. Что это за силы? Если сразу отказаться от учета силы тяжести, то эти силы следующие (найдем их сначала для ионного компонента). Это, прежде всего, сила, обусловленная градиентом давления и равная Как и в обычной гидродинамике, для замыкания системы уравнений плазменной гидродинамики нужно использовать уравнение состояния, связывающее давление, плотность и температуру. Давление каждого компонента плазмы с изотропным распределением заряженных частиц выражается, как и для идеального газа, уравнением состояния Используя уравнение состояния, получим, что — Поскольку в плазме существует электрическое поле, то вторая сила, действующая на единичный ионный объем, — сила со стороны электрического поля, которая для однозарядных ионов равна Потенциал электрического поля удовлетворяет уравнению Пуассона

где Существование электрического поля приводит к тому, что в общем случае поэтому между компонентами возникает сила трения F которая определяется импульсом, передаваемым в единицу времени электронами ионам, причем Наконец, если плазма помещена в магнитное поле, то на единичный

объем действует еще и сила Лоренца, равная Расшифровывая слагаемое в уравнении движения единичного объема ионной жидкости, получаем

По аналогии для электронного компонента имеем

Уравнения (5.88) и (5.89) — уравнения Эйлера для двух заряженных взаимопроникающих жидкостей, которые взаимодействуют между собой благодаря трению и через самосогласованное электрическое поле. Если плазма сохраняет квазинейтральность и ионы однозарядные, то и . В этом случае можно перейти к модели одножидкостной гидродинамики, сложив уравнения (5.88) и (5.89). Тогда, если пренебречь силой Лоренца, получим

где (слагаемые, связанные с силами «электрического трения» и трения из-за столкновений, взаимно уничтожились).

Для электронной и ионной жидкостей должны также выполняться уравнения непрерывности

Мы предполагаем, что процессами ионизации и рекомбинации можно пренебречь.

Плазменные ленгмюровские колебания и волны. Предположим, что все электроны в тонком слое холодной бесстолкновительной безграничной плазмы внезапно смещены вправо так, что между плоскостями 1 и 2 на рис. 5.8 а электронов нет. Ионы плазмы будем считать неподвижными. Справа от плоскости 2 будет избыток заряда, что приведет к возникновению возвращающей силы обусловленной декомпенсацией зарядов. Величину мы уже

оценивали: если электроны сместились на х, то и . Эта сила сообщает им ускорение поэтому движение группы смещенных электронов описывается уравнением гармонических колебаний с плазменной частотой Такие колебания называются плазменными или ленгмюровскими колебаниями в «холодной» бесстолкновительной неподвижной плазме. Опишем их с помощью уравнений Будем полагать, что магнитное поле равно нулю; столкновениями можно пренебречь; ионы не участвуют в колебаниях и являются однородным компенсирующим неподвижным фоном те); плазма представляет собой одномерный поток электронов, движущийся со скоростью в направлении оси х.

Рис. 5.8. К объяснению ленгмюровских плазменных колебаний: а — все электроны в тонком слое внезапно смещены вправо (А — область, где электронов нет; В — область с избытком электронов); б - дисперсионная кривая

Учтем также влияние сил, связанных с перепадом давления в плазме, т. е. влияние звуковых эффектов. Допустим, что начальное возмущение имеет вид плоской волны с частотой и волновым числом к Для малых возмущений давление электронной жидкости концентрация скорость электронной жидкости (все возмущенные величины, много меньшие соответствующих невозмущенных). Давление электронной жидкости представим в виде поте — плотность электронного газа) и При сделанных допущениях из уравнений двухжидкостной плазменной гидродинамики (5.87), (5.88), (5.91), (5.92) получим следующую систему:

Подставляя в эти уравнения из условия совместности получившейся алгебраической системы находим закон

дисперсии ленгмюровских волн:

Это уравнение при соответствует дисперсионному уравнению для цепочки связанных маятников (см. рис. 4.8). Подобное (5.93) уравнение было получено впервые Ленгмюром, который исходил из аналогии со звуковыми волнами в воде (5.12). Здесь осталась неизвестной величина Чтобы замкнуть уравнения гидродинамики, будем считать давление электронной жидкости изотропным и связанным с коцентрацией уравнением состояния но поэтому . Как следует из кинетической теории [14], . Уравнение является уравнением состояния газа в случае одномерного адиабатического сжатия и может быть получено из термодинамики. С учетом сказанного из (5.93) окончательно имеем

В [12] для модели, в которой газ находится в среде с двумя параллельными плоскими стенками, расстояние между которыми медленно изменяется, уравнение получено из оценочных соображений, основанных на сохранении адиабатического инварианта где — компонента скорости частицы, перпендикулярная стенке, — расстояние между стенками. Попытайтесь рассмотреть эту модель самостоятельно. Формула легко доказывается, если рассмотреть отражение частиц от неподвижной стенки.

График закона дисперсии для среды из осцилляторов, соответствующий уравнению (5.94) при показан на рис. 5.9. Остановимся более подробно на анализе (5.93) для различных частных случаев.

Плазменные колебания в «холодной» неподвижной плазме. Дисперсионное уравнение получается из (5.93) при и имеет уже известный нам вид (см. рис. 5.8 б). В «холодной» плазме ленгмюровские колебания не обладают дисперсией, и, если плазма покоится, они не распространяются, поскольку Следует, однако, заметить, что фазовая скорость отлична от нуля и равна (k — волновое число плоской волны возмущений).

Плазменные колебания в одномерном «холодном» потоке ,

Рис. 5.9. Закон дисперсии для плазмы, представляющей собой среду с дисперсией в области низких частот; показана граница по к справедливости гидродинамической теории (а). Механический (б) и электрический (в) аналоги волн в плазме

Рис. 5.10. Дисперсионные кривые для холодного одномерного электронного потока Из (5.93) находим, что

Легко видеть, что решением уравнения (5.95) являются широко используемые в СВЧ-электронике [17] волны пространственного заряда: медленная с и быстрая с (рис. 5.10). Плазменные колебания в одномерном «холодном» потоке представляют собой только что рассмотренные ленгмюровские колебания, которые переносятся электронами с дрейфовой скоростью причем Поэтому волны пространственного заряда часто называют электрокинематическими.

Плазменные колебания в неподвижной «горячей» плазме (Те Перепишем (5.93) при в виде

где — радиус Дебая (см. (5.85)).

Дисперсионное уравнение (5.96) справедливо только для длинноволновых возмущений, когда или . Электроны смещаются за период на расстояние, меньшее, чем длина волны; сжатие

должно быть адиабатическим. Напомним, что мы раскладывали правую часть уравнения состояния в ряд и ограничивались одним членом разложения, поэтому и дисперсионное уравнение (5.96) имеет вид аналогичного разложения по малому параметру Учет конечной температуры электронов в этом приближении дает лишь поправку к теории «холодной» плазмы, Легко видеть, что откуда при условии применимости рассмотрения имеем

Величина имеет порядок тепловой скорости электронов, поэтому групповая скорость волн в неподвижной «горячей» плазме, как это видно из (5.97), много меньше тепловой. Таким образом, волна переносит энергию через «горячую» плазму в отличие от предыдущего случая, где групповая скорость просто равнялась дрейфовой.

Рис. 5.11. К объяснению затухания Ландау: а — распределение электронов по скоростям (заштрихованная область соответствует резонансным электронам — модель движения резонансных электронов в поле плазменной волны, если но одного порядка; большая часть электронов группируется на ускоряющем склоне потенциального «горба» плазменной волны

В рамках кинетической теории, справедливой для любых к, Л. Д. Ландау заметил, что даже в пренебрежении силами трения колебания электронов затухают («затухание Ландау»). При затухание столь велико, что нет смысла рисовать диперсионную характеристику в области таких значений к. Объяснение эффекта состоит в том, что, если скорость электронов меньше фазовой скорости волны, но близка к ней, электроны забирают энергию у волны и колебания затухают. Чем больше будет таких резонансных частиц, тем больше будет затухание. Если функция распределения для плазмы монотонно спадает со скоростью, то электронов, отстающих от волны (отбирающих

энергию), будет больше, чем обгоняющих (отдающих энергию). Сказанное иллюстрируется рис. 5.11.

Ионно-акустические волны (ионный звук). Будем исходить из уравнений двухжидкостной гидродинамики, считая, как и прежде, что магнитные поля отсутствуют, столкновениями можно пренебречь, и, кроме того, пренебрежем инерцией электронов в уравнении (5.89), т. е. пренебрегаем слагаемым . Тогда в одномерном случае из уравнений (5.87)-(5.91) получим следующую систему:

Пусть электроны имеют постоянную температуру, т. е. Тогда из второго уравнения в линейном приближении имеем, что , где , следовательно, первое уравнение можно переписать в виде . Из третьего уравнения имеем или, используя выражение для находим, что .

Окончательно преобразованную систему уравнений можно записать так:

Сравнивая систему уравнений (4.39) для длинной линии, ячейка которой представлена на рис. 4.17, с системой уравнений (5.98), легко установить между ними прямое соответствие [15].

Для наглядности выпишем параметры и величины: для длинной линии

для плазмы

Подчеркнем, что размер ячейки длинной линии (Дж) соответствует радиусу Дебая для плазмы.

Рис. 5.12. Схема разрядной трубки (знаком отмечен подвижной электрод: 1 — ртуть; 2 — катод; 3 — сетка; 4 — анод; 5 — зонд Ленгмюра и рассчитанные теоретически (сплошные линии) и измеренные экспериментально дисперсионные кривые для двух значений тока разряда (кружки — мА; треугольники мА; штриховая линия — расчетная прямая по уравнению

Полагая, что все возмущения распространяются в виде плоских волн вида из (5.98) находим дисперсионное уравнение (ср. с (4.33)), или

где — скорость ионного звука. Если то . С ростом к частота начинает расти медленнее, чем по линейному закону, фазовая скорость волны начинает падать;

при Физически дисперсия ионного звука связана с тем, что колебания ионов происходят при неподвижных в среднем электронах: давление последних компенсирует действие электрического поля, не давая электронам смещаться. Дисперсия имеет место в области высоких частот.

Приведем в качестве иллюстрации аналогии с длинной линией (см. гл. 4) результаты эксперимента [15]. Разрядная трубка, использованная в эксперименте, схематически представлена на рис. 5.12 а. Между подвижными сеткой и анодом возбуждались стоячие волны; с помощью зонда приводился анализ возникших колебаний. Были обнаружены ионные звуковые волны с частотой — характерный размер плазмы, например длина трубки или расстояние между электродами). Результаты эксперимента приведены на рис. 5.12 б.

До сих пор, говоря о плазме, мы имели в виду ионизованный газ. В последние годы широко исследуется плазма твердого тела. В частности, плазма полупроводников и металлов определяется как совокупность подвижных электронов и дырок, а также ионизованных атомов, связанных с кристаллической решеткой. Коллективные колебания в твердотельной плазме имеют много общего с рассмотренными нами колебаниями газоразрядной плазмы [18-20].