17.3. Взрывная неустойчивость

Рассмотрим взаимодействие пространственно-однородных полей в неконсервативной среде, т. е. . Примером такой среды может служить активная линия передачи, одна из возможных реализации которой представлена на рис. 17.7 а. Активным

Рис. 17.7. Взаимодействие пространственно однородных полей в неконсервативной среде: а — активная линия передачи как пример такой среды; б - интегральные кривые на фазовом цилиндре в — интегральные кривые на фазовом цилиндре

элементом в ней является туннельный диод. Уравнения для комплексных амплитуд взаимодействующих волн в такой системе имеют вид (нелинейность, вносимая туннельным диодом, считается квадратичной)

Перейдем к действительным амплитудам и фазам заменой тогда получим

где

1. Пусть т. е. волны находятся в синхронизме. Тогда система (17.31) имеет два независимых интеграла движения: и еще один следует из них: Существование этих соотношений означает, что если при то и при амплитуды всех волн остаются одинаковыми. На этом основании можно рассматривать только два уравнения системы (17.31):

Умножая первое уравнение на второе на и вычитая одно из другого, находим

Получаем, таким образом, уравнение интегральных кривых на фазовом цилиндре (рис. 17.76). Из (17.32) следует, что в системе есть целая прямая состояний равновесия Если то А растет, при убывает. Функция при т. е. разность фаз взаимодействующих волн стремится к нулю и фазы синхронизируются. При этом При амплитуды взаимодействующих волн обращаются в бесконечность. Заметим, что амплитуды растут быстрее, чем по экспоненциальному закону, так как обращаются в бесконечность за конечное время, — это так называемая взрывная неустойчивость [7]. Явление взрывной неустойчивости проявляется, в частности, в средах, где диссипативная нелинейность квадратична

2. Рассмотрим случай неточного синхронизма, т. е. При тех же предположениях мы получим вместо (17.32)

Отсюда или — уравнения интегральных кривых на фазовом цилиндре (рис. 17.7 в). Состояние равновесия здесь уже одно: Фазы тоже синхронизуются, и амплитуды стремятся к бесконечности, т. е. по-прежнему существует взрывная неустойчивость. Таким образом, линейная расстройка не в состоянии стабилизировать взрывную неустойчивость.

Взрывная неустойчивость, проявляющаяся в одновременном нарастании амплитуд всех резонансно связанных волн возможна и в среде без диссипации, если среда неравновесна [7, 10]. Примером может служить взаимодействие волн разных знаков энергий (см. гл. 10) в системе плазма-электронный поток. Если отрицательной энергией обладает волна, которая распадается либо пара низкочастотных волн то в правых частях уравнений для будут одинаковые знаки, и вместо (17.9) мы вновь приходим к уравнениям вида (17.31). Поскольку волны отрицательной энергии, отдавая энергию другим волнам (и увеличивая их амплитуды), нарастают по амплитуде и сами, становится понятным одновременный рост всех взаимодействующих волн, наблюдаемый при взрывной неустойчивости [11].