21.6. Периодические автоколебания в гидродинамических течениях

Периодические течения жидкости, развивающиеся за счет энергии потока или внешних источников тепла и стабилизируемые вязкостью, часто встречаются и природе. Некоторые из таких течений в одномерной идеализации удается описать с помощью уравнений типа (21.1)-(21.3). Это ужо упоминавшиеся волны на стекающей пленке, периодические волны на границе раздела движущихся друг относительно друга несмешивающихся жидкостей и т. д.

Здесь мы обсудим простые и наглядные примеры периодических автоколебаний в замкнутых двумерных течениях. Эти примеры связаны с динамикой небольшого числа вихрей «на плоскости» — в тонких слоях жидкости. Соответствующие эксперименты представляют интерес, в частности, с точки зрения моделирования глобальных вихревых процессов в атмосфере (ураганов), поскольку для глобальных вихрей нашу атмосферу можно считать очень тонкой.

На рис. 21.9 приведена картина четырехвихревого течения в кювете, возбуждаемого магнитогидродинамическим методом [2]. В кювету глубины 0,5 см и длины 23 см наливался электролит (водный раствор медного купороса), через который в направлении оси х пропускался постоянный электрический ток. Под кюветой (примерно в середине системы) параллельно оси х располагались два постоянных магнита. При включении тока на проводящую жидкость, расположенную над магнитами, действуют силы, заставляющие жидкость двигаться — в середине кюветы возникает течение жидкости от стенок к оси х, а вне магнитов линии тока будут замыкаться (возвратное течение). В результате устанавливается течение в виде четырех одинаковых вихрей. Картины движения жидкости в двумерных течениях напоминают нам фазовые портреты двумерных динамических систем. Это не случайно.

Рис. 21.9. Возбуждаемое магнитогидродинамическим методом четырехвихревое течение в кювете [2]: периодическим автоколебаниям соответствует чередование во времени картин течения а и б

При увеличении числа Рейнольдса, которое в данном случае растет пропорционально току и магнитному полю, стационарное четырехвихревое течение теряет устойчивость и возникает периодический автоколебательный режим. Этот режим характеризуется попарным перезамыканием вихрей одного знака (с одинаковым направлением вращения). Обратим внимание на то, что при увеличении числа Рейнольдса в этой системе картина течения перестает быть симметричной — ядро одного из пары взаимодействующих вихрей уменьшается и образуется вытянутый вихрь.

Совершенно аналогичная картина периодических автоколебаний наблюдается при термоконвекции в жидкости, находящейся в вертикальной ячейке (ячейке Хеле-Шоу) при подогреве снизу рис. 21.10) [3]. Для конвективных течений параметром, характеризующим степень неравновесности системы, служит число Рэлея — ускорение свободного падения, — вертикальный градиент температуры, — высота слоя, — коэффициент теплового расширения, — вязкость, х — температуропроводность). В обсуждаемом эксперименте наблюдалась следующая последовательность бифуркаций при увеличении числа Рэлея при состояние гидродинамического равновесия теряло устойчивость и сменялось стационарной одновихревой

конвекцией: нагретая жидкость всплывала вверх, а более холодная опускалась вниз (направление вращения жидкости при одновихревой конвекции зависит только от начальных условий); при устанавливалась двух- или четырехвихревая конвекция. При последующем увеличении стационарная ячеистая конвекция сменялась автоколебательным режимом, для которого было характерно периодическое попарное перезамыкание вихрей. При больших в этом эксперименте наблюдалось и стохастическое во времени перезамыкание вихрей (см. гл. 23).

Рис. 21.10. Периодические автоколебания, наблюдаемые при термоконвекции в жидкости, находящейся в вертикальной ячейке (ячейка Хеле-Шоу) при подогреве снизу

В рамках исходных уравнений гидродинамики — уравнений Навье-Стокса — описать аналитически установление периодических автоколебательных течений не удается (даже в двумерном приближении).

Однако понять механизм их возникновения и доказать соответствующий факт можно совершенно строго, воспользовавшись теорией бифуркаций и некоторыми достаточно общими математическими теоремами, в первую очередь теоремой о центральном многообразии [8]. Мы здесь не имеем возможности углубляться в соответствующую достаточно тонкую математическую теорию [5, 6, 8, 11, 12]; заметим лишь, что применение теоремы о центральном многообразии позволяет свести исследование бифуркаций в бесконечномерной системе к анализу конечномерной системы. В частности, в интересующем нас сейчас случае рождения периодического течения (т. е. рождения цикла) эта теорема дает возможность оперировать с размерностью, равной двум, без какой-либо потери информации об устойчивости [8, гл. 2 и 8]. Аналогичное утверждение относится и к рождению квазипериодических течений из периодических (т. е. рождению инвариантного тора), только редуцированная размерность здесь будет равна уже не двум, а трем (при двух несоизмеримых частотах течения).

Остановимся подробнее на ином подходе к исследованию автоколебаний в гидродинамических течениях — подходе, связанном с приближенным описанием течения с помощью конечномерных динамических систем. Наиболее распространенным и естественным здесь является так называемое модовое описание (или метод Галеркина), в котором гидродинамические поля (скорости, температуры и пр.) представляются в виде линейной комбинации конечного числа координатных функций (их обычно называют базисными):

где — коэффициенты разложения, для которых предстоит получить конечномерную систему уравнений в обыкновенных производных. Если исходные уравнение имеют, скажем, вид

где М — некоторый дифференциальный оператор (в общем случае нелинейный), а поле достаточно гладкое, определено в ограниченной области и удовлетворяет однородным краевые условиям на границе области, то уравнения для получаются из условий ортогональности невязки базисным функциям

Естественно, что если эти функции взаимно ортогональны, то вся процедура существенно упрощается.

Продемонстрируем вывод подобных конечномерных уравнений на уже обсуждавшемся примере термоконвекции в ячейке Хеле-Шоу [10]. Исходные уравнения в приближении Буссинеска, при котором сжимаемостью жидкости в уравнении непрерывности мы пренебрегаем, имеют вид

Здесь ускорение свободного падения, — коэффициент объемного расширения, — поле температуры, х — температуропроводность. Граничные условия таковы:

Поскольку то можно считать, что скорость жидкости поперек слоя приближенно равна нулю (приближение плоских траекторий). Тогда естественно, как и для двумерных течений, ввести функцию тока связанную с компонентами скорости соотношениями Тогда уравнения Буссинеска (21.12) можно сформулировать в терминах функции тока Ф и завихренности

Здесь — по-прежнему число Рэлея, — число Прандтля, Т — отклонение температуры от

равновесного распределения (поддерживаемого внешним источником тепла). Граничные условия к (21.14) имеют вид

В (21.14), (21.15) в качестве единиц измерения расстояния, времени, скорости, температуры и давления выбраны соответственно толщина слоя Конечномерную аппроксимацию поля скорости и температуры (типа для нашей краевой задачи возьмем в виде

После подстановки этих выражений в (21.14) и ортогонализации для получится система уравнений типа

где а соответствует .

Основной вопрос, который возникает при построении галеркинской аппроксимации уравнении гидродинамики: сколько мод учитывать в разложении? Каких-либо четких алгоритмов здесь нет; единственным критерием правильности конечномерного описания является сравнение его с точным решением (если оно известно) либо с экспериментом. Поэтому обычно строить такую конечномерную аппроксимацию имеет смысл лишь в тех случаях, когда ясно, какую картину течения мы хотим описать. Описанный способ конечномерного усечения уравнений гидродинамики является не единственным и, возможно, не всегда оптимальным. Конечномерные модели могут строиться, в частности, по принципу моделирования основных свойств этих уравнений — квадратичности, симметрии, законов сохранения и т. д. (так называемые системы гидродинамического типа [4]). Для четырехвихревой

конвекции в ячейке Хеле-Шоу представляется естественным ограничиться учетом первых трех мод полей скорости и температуры и двумя пространственно однородными по х модами учитывающими изменение равновесного распределения температуры за счет конвекции. Для того чтобы продемонстрировать возникающие здесь математические трудности, приведем систему уравнений (см. [10]) для этих мод (вместе с коэффициентами, выписанными лишь в первых семи уравнениях; другие положительные коэффициенты опущены):

(см. скан)

Здесь для удобства введены новые единицы времени, функции тока и температуры, отличающиеся от старых соответственно множителями

Подчеркнем еще раз, что рассмотрение лишь конечного числа основных базисных функций, учитывающее стабилизирующее действие вязкости (лишающей мелкомасштабные возмущения «самостоятельности» — они следят за более крупными), естественно ограничивает диапазон чисел Рэлея, в котором еще можно пользоваться системой (21.18).

Общий анализ системы (21.18) требует обращения к вычислительной технике. Однако некоторые выводы можно получить и непосредственно, анализируя структуру этих уравнений. В частности, видно, что (эти возмущения описывают одновихревое движение) не генерируют других возмущений, т. е. решение системы

является решением и полной системы (21.18). Это решение, естественно, будет иметь смысл, лишь если оно устойчиво по отношению к нарастанию остальных возмущений. Соответствующий анализ, хотя и несколько громоздок, но довольно прост для стационарного решения системы (21.19):

Читателю предлагается убедиться самостоятельно, что, например, при числе Прандтля возмущения начинают нарастать (на фоне (21.20)) при числах Рэлея Численный анализ (21.18) показывает [10] возникновение устойчивых периодических автоколебаний в рассматриваемой задаче при Эти автоколебания соответствуют упоминавшемуся периодическому перезамыканию вихрей.