Глава 12. Адиабатические инварианты. Распределение волн в неоднородных средах

12.1. Приближение Вентцеля—Крамерса-Бриллюэна и адиабатические инварианты

Уже из рис. 11.3 б видно, что, если частота изменения параметра системы много меньше собственной частоты неустойчивости практически нет: зоны неустойчивости становятся все более узкими по мере увеличения отношения Этот случай очень медленного, так называемого адиабатического изменения параметра (примером могут служить колебания маятника, длина которого медленно изменяется) очень интересен с колебательно-волновой точки зрения и в то же время часто встречается в приложениях.

В качестве основной модели возьмем осциллятор с медленно изменяющейся частотой. Его уравнение имеет вид

Здесь характерное время Т изменения параметра (частоты ) велико: Введем медленное время Тогда уравнение (12.1) можно переписать следующим образом:

(штрихами здесь и далее обозначено дифференцирование по медленному времени). Сделаем замену переменных:

Очевидно, что поэтому вместо (12.1) получим уравнение которое при совпадает с известным уравнением Рикатти

Таким образом, вместо линейного уравнения второго порядка (уравнение (12.1)) мы получили уравнение первого порядка, но нелинейное. Однако в данном случае оно оказывается проще для исследования.

Учитывая медленность изменения параметра, будем искать приближенное решение уравнения (12.3) в виде асимптотического разложения

где малым параметром служит Подставляя (12.4) в (12.3), получаем

Разделение слагаемых по порядку малости дает

Мы ограничиваемся двумя первыми членами разложения в (12.4). В этом приближении, используя (12.5), из соотношения (12.2) находим, что

где А — постоянная, к. с. — комплексно-сопряженное слагаемое, соответствующее второму знаку (минусу) в

Окончательно приближенное решение запишется в виде

где — полная фаза. Таким образом, решение соответствует осцилляциям с изменяющимися амплитудой и частотой. Самый существенный результат состоит в том, что амплитуда этих колебаний убывает или возрастает медленно — адиабатически, поскольку медленно изменяется Решение (12.6) называется приближением Вентцеля-Крамерса-Бриллюэна (ВКБ) [2, 12]. Впервые оно было получено при решении уравнения Шредингера для волн, распространяющихся в слабо неоднородной среде.

Всегда ли полученное решение справедливо? Очевидно, оно становится неверным при очень малых но не потому, что амплитуда в (12.6) стремится к бесконечности, а потому, что вся теория справедлива при и при неизвестно, какие Т выбирать. Второй вопрос: насколько близко найденное решение к точному? Если бы ряд (12.4) сходился равномерно, то вопроса о точности не возникало бы. Но равномерной сходимости обычно не бывает — с увеличением числа слагаемых в разложении точность не обязательно повышается. Впрочем, для нас это желательно, но не необходимо. Чтобы иметь право пользоваться приближенным решением, необходима лишь его асимптотическая сходимость, т. е. приближенное решение должно переходить в точное при стремлении к нулю малого параметра

Попытаемся разобраться в физическом смысле полученного решения. Для этого вычислим энергию нашего осциллятора с медленно изменяющейся частотой. Как известно, . У нас где (член, содержащий очень мал, и мы им пренебрегаем). Таким образом, , где или

т. е. отношение энергии, запасенной осциллятором, к его частоте при медленном изменении параметров сохраняется во времени. Величины, сохраняющиеся при медленном изменении параметров динамической системы, называют адиабатическими инвариантами [3, 4].

Из (12.7) следует очень важный вывод: в медленно изменяющемся поле можно существенно изменить, в том числе и увеличить, энергию осциллятора, т. е. можно использовать такой осциллятор для усиления. Понять, почему сохраняется именно величина нам поможет квантовая аналогия, т. е. описание осциллятора на языке квазичастиц. Энергия осциллятора — это , где — энергия элементарного колебания кванта или квазичастицы, число квазичастиц или число квантов. При медленном изменении параметра число квантов, очевидно, измениться не может — они не сливаются, т. е. число квантов является адиабатическим инвариантом. Полная же энергия осциллятора изменяется за счет изменения энергии самих квантов — квазичастиц. Таким образом, смысл адиабатического инварианта (12.7) довольно прозрачен.

При резонансном параметрическом усилении картина иная: энергия колебательной системы растет именно за счет увеличения числа

квантов, энергия же каждого кванта не изменяется. Вспомним, например, что для основного резонанса энергия одного кванта накачки приблизительно равна а «сигнальное» колебание имеет собственную частоту осциллятора т. е. энергия одного кванта накачки равна энергии двух квантов сигнала осциллятора Иными словами, происходит распад одного кванта накачки на два кванта сигнала, за счет чего и растет полная энергия колебаний на частоте

Легко убедиться, что если система разбивается на нормальных осцилляторов, то она должна иметь независимых адиабатических инвариантов.

Рассмотрим еще один общий способ получения адиабатического инварианта, основанный на применении приближенного прямого вариационного метода [5], близкого к известному методу Уизема [6]. Будем считать, что (12.1) является уравнением Эйлера вариационной задачи,

т. е. является условием стационарности некоторого функционала I. Поскольку, как известно, для уравнение Эйлера имеет вид соответствующий (12.1) функционал запишется следующим образом:

Читателю предоставляется возможность самому проверить справедливость (12.8). Предположим далее, что

где — медленно изменяющиеся функции времени, — периодическая функция такая, что

Условия (12.10) и (12.12) не снижают общности решения, как может показаться, поскольку X и еще не определены; в то же время условие

(12.11) определяет характер решения. Используя (12.9) для нахождения х, можно написать выражение для усредненного функционала (12.8):

Учитывая медленность изменения во времени, можно показать, что (с учетом (12.12)), (согласно (12.11)), где

(в соответствии с (12.12)). Тогда получим новый функционал:

в котором появилась еще одна зависимая переменная Вспомним, что если то условия стационарности [7] следующие:

Варьируя I, получим два уравнения Эйлера:

Пробную функцию для Т разумно (см. (12.1)) выбрать в виде где . Тогда , полагая имеем

В силу того что X — медленно изменяющаяся функция времени, из уравнения (12.13) следует , и с учетом (12.15) имеем

Из уравнения (12.14) находим

Итак, мы вновь получили известный адиабатический инвариант, а решение (12.9) имеет вид

Данный прямой вариационный метод интересен тем, что он может использоваться и для решения задач линейной и нелинейной теории волн [5].