10.3. Связанные волны, синхронизм. Нормальный и аномальный эффект Доплера

Линейные уравнения для связанных волн можно формально получить из уравнений для связанных колебаний (в случае двух связанных

волн — из уравнений (2.21)), если время заменить на координату, частоту — на постоянную распространения: аналогом энергии осциллятора будет мощность, распространяющаяся идоль волноведущей среды. Ограничимся случаем слабой связи, когда феноменологический вывод уравнений связанных волн элементарен. В отсутствие связи

где нормированы так, что — потоки мощности, переносимые волнами, — постоянные распространения волн. Если теперь связать волны, но считать связь слабой остаются такими же, как и в отсутствие связи), то

где — коэффициенты связи волн малы по сравнению с полезно сравнить (10.28) с (2.21)). Предположим далее, что затуханием волн можно пренебречь, т. е. в отсутствие связи — действительные величины, — фазовые скорости несвязанных волн. В случае слабой связи общая средняя мощность приближенно равна сумме мощностей в несвязанных системах:

Знаки соответствуют волнам с положительной и отрицательной энергией.

В том случае, когда одна из волн — волна пространственного заряда в электронном потоке, а другая — электромагнитная волна в замедляющей системе, (10.29) как раз и есть математическое выражение теоремы в теории электронных СВЧ-приборов с длительным взаимодействием в так называемом двухволновом приближении [12, 13]. В частности, для дрейфующего электронного пучка теорема о кинетической мощности имеет вид

Поскольку из второй формулы в (10.29) следует, что

Подставляя (10.28) и комплексно-сопряженные им уравнения в (10.30), находим

Соотношение (10.31) справедливо для любых Поэтому

Считая, что и принимая во внимание формулы (10.32) и (10.33), из условия совместности уравнении (10.28) получаем следующие дисперсионные уравнения:

для одинаково направленных потоков мощности (одинаковые знаки перед в первой из формул (10.29))

для противоположно направленных потоков мощности (разные знаки перед

В системе без потерь возможны четыре варианта связи взаимодействующих волн (табл. 10.1, взятая из [23]). Дисперсионные характеристики несвязанных волн представлены штриховыми линиями, а сплошные линии соответствуют возможным вариантам связи.

Проиллюстрируем таблицу конкретными примерами из высокочастотной электроники, основываясь на теории взаимодействия прямолинейного электронного потока с бегущей электромагнитной волной (см. гл. 7). Обратимся к уравнению возбуждения волноведущей системы током электронного пучка:

и к уравнению для тока, сгруппированного в пучке под действием поля волноведущей системы:

Если то (10.37) можно переписать в виде

где индексы соответствуют интегралам, связанным с возбуждением медленной и быстрой волн пространственного заряда. Тогда вместо (10.37) или (10.38) можно написать два уравнения первого порядка:

Условия для резонансного взаимодействия

соответствуют условиям синхронизма электромагнитной волны в замедляющей системе и быстрой волны пространственного заряда в пучке, а условия

соответствуют условиям синхронизма волны в замедляющей системе и медленной волны пространственного заряда. При выполнении условий (10.41) или (10.42) в системе уравнений (10.36), (10.39) и (10.40) можно вместо трех уравнений оставить только два. В этом случае возможны следующие взаимодействия (см. табл. 10.1) и соответствующие им приборы.

1. Взаимодействие быстрой волны пространственного заряда с прямой волной в волноведущей структуре (обе волны с положительной энергией); групповые скорости направлены в одну сторону; ЛБВ — подавитель; при определенных значениях постоянного тока пучка и ускоряющего напряжения для данной частоты имеет место полное подавление входного сигнала.

2. Взаимодействие быстрой волны пространственного заряда с обратной волной в волноведущей системе (обе волны с положительной энергией, но с противоположно направленными групповыми скоростями); ЛОВ — подавитель; полное подавление возможно лишь на бесконечной длине пространства взаимодействия.

3. Взаимодействие медленной волны пространственного заряда (волна с отрицательной энергией) с прямой волной в системе (волна с положительной энергией); групповые скорости направлены в одну сторону; ЛБВ — усилитель.

4. Взаимодействие медленной волны пространственного заряда с обратной волной в системе; групповые скорости противоположны; ЛОВ — генератор.

Таблица 10.1. Дисперсионные характеристики слабо связанных волн (см. скан)

Рассмотрим в качестве примера случай 1, которому соответствует система уравнений

с дисперсионным уравнением

Из условия точного синхронизма волн находим

Начальные условия с учетом того, что (см. (10.41)) и можно записать так:

Из (10.44) с учетом (10.43) получаем

т. е. имеет место периодический обмен энергией между взаимодействующими волнами, и условие полного подавления входного сигнала есть Если ввести где — волновая проводимость пучка, то в и поскольку то уравнения (10.42) и (10.34) совпадают [13]. Заметим, что рассмотренные выше двухволновые взаимодействия соответствуют в СВЧ-электронике так называемому случаю больших пространственных зарядов , когда волна в линии передачи не может одновременно быть близка по скорости к обеим волнам пространственного заряда.

Рис. 10.3. Линия передачи, состоящая из набора тяжелых поперечных пластин 1 с небольшими стержневыми магнитами 2, прикрепленными к проволоке 3 [14] (а) и схема распространения крутильной волны вдоль линии передачи

Красивый эксперимент, демонстрирующий нарастающие колебания в двух связанных волновых системах, был поставлен К. Катлером [14], который сконструировал механический генератор с бегущей

волной. Передающая линия была сделана из набора поперечных тяжелых пластин, расположенных вдоль стальной проволоки (рис. 10.3). Когда одна из пластин повернута на небольшой угол, а потом отпущена, из-за скручивания проволоки вдоль линии распространяется медленная крутильная волна (ее скорость определяется сопротивлением проволоки к скручиванию и вращательной инерцией тяжелых поперечных пластин). Для того чтобы волновые системы могли двигаться друг относительно друга (их было две), каждая передающая линия была натянута на обод велосипедного колеса и замкнута в кольцо (колеса могли вращаться на общей оси независимо одно от другого). На концах поперечных пластин были укреплены маленькие цилиндрические магниты (рис. 10.3 а). Они намагничивались так, чтобы вызвать притяжение между поперечными пластинами линий. Взаимодействие волн в системе лучше всего видно, когда колеса вращаются в разные стороны. Сначала они вращаются независимо, но при определенном значении скорости небольшое случайное возмущение приводит к возникновению колебаний и их нарастанию. Сначала по ободу укладывается две волны; при замедлении вращения эти колебания исчезают, но одновременно возникают колебания, имеющие на длине окружности обода три волны; характер колебаний меняется непрерывно с частотой (рис. 10.4). В эксперименте Катлера взаимодействие прекращалось, когда по окружности колеса укладывалось семь волн.

Рис. 10.4. Фотографии, демонстрирующие работу механического генератора бегущей волны [14]: скорости колес таковы, что на ободе укладывается четыре длины волны (а), пять длин волн (б) и шесть, семь длин волн (в)

До сих пор при рассмотрении примеров мы касались главным образом волн пространственного заряда и их резонансного взаимодействия с электромагнитными волнами в волноведущих структурах. Имеется и другой класс собственных волн в электронных потоках, движущихся

в продольном фокусирующем магнитном поле и скрещенных электро- и магнитостатическпх полях — циклотронные волны [12, 13]. Эти волны распространяются в электронном потоке в виде высокочастотных возмущений поперечной скорости потока с фазовыми скоростями

где — циклотронная частота (В — индукция магнитного поля), — постоянная составляющая скорости продольного движения электронов, индексы (знаки соответствуют медленной и быстрой циклотронным волнам электронного потока. Циклотронные волны поляризованы в плоскости, перпендикулярной направлению постоянного магнитного поля; быстрая циклотронная волна — волна с положительной энергией, медленная циклотронная волна — с отрицательной энергией [12, 13]. При синхронном взаимодействии волны в линии передачи с одной из циклотронных волн в пучке в СВЧ-приборах реализуется так называемый режим циклотронного резонанса [13].

Как мы видели на примере волн в линиях передачи и электронных потоках, энергообмен определяется свойствами взаимодействующих волн. Можно ли предугадать результат взаимодействия и выяснить характер энергообмена, скажем, не определяя знака энергии волн? Оказывается, что можно, если привлечь представления теории излучения при сверхсветовом движении в среде [15-17].

Если излучатель (заряженная частица, электрический диполь и т.п.) движется в среде с показателем преломления то вследствие эффекта Доплера в системе координат, связанной с неподвижной средой, излучение имеет частоту (см. [15, 16])

где — частота излучения в системе координат, в которой излучатель покоится; — скорость излучателя, с — скорость света); — угол между и направлением наблюдения. При эффект Доплера называют нормальным, а при — аномальным [17] (эффект Доплера в преломляющей среде детально обсуждается в статье [24]). Особенно важным является то обстоятельство, что

характер аномального эффекта Доплера не меняется и тогда, когда поле заключено в узких каналах или щелях в среде или сосредоточено вблизи границ [15-17]. Излучение, связанное с нормальным эффектом Доплера, приводит к затуханию поля, а с аномальным — к его усилению. В случае взаимодействия замедленной электромагнитной волны с прямолинейно движущимся со скоростью потоком электронов-осцилляторов, которые колеблются с редуцированной плазменной частотой формула (10.46) принимает вид

При (нормальный эффект Доплера, из (10.47) имеем или что совпадает с условием (10.42) синхронизма волны в волноведущей системе с быстрой волной пространственного заряда. Имеет место затухание колебаний, что на языке электроники означает: электроны при выполнении условии синхронизма (10.42) группируются в ускоряющей фазе высокочастотного поля и забирают энергию у волны.

При имеем что совпадает с (10.41) и соответствует синхронизму волны в линии передачи с медленной волной пространственного заряда. В этом случае электроны группируются в тормозящей фазе поля (излучение, связанное с аномальным эффектом Доплера, раскачивает колебания), и при выполнении (10.41) можно ожидать усиления или генерирования колебаний. Таким образом, существует физическая аналогия между индуцированным нормальным эффектом Доплера и синхронным взаимодействием электромагнитной волны и «электронной» волны с положительной энергией (быстрая волна), а также между индуцированным аномальным эффектом Доплера к синхронным взаимодействием электромагнитной волны и волны с отрицательной энергией (медленная волна). Следует подчеркнуть, что применительно к СВЧ-прпборам аналогия справедлива лишь в двухволновом приближении (условия (10.41) или (10.42) — приближение больших пространственных зарядов; условие (10.45) — режимы циклотронного резонанса), когда электромагнитная волна взаимодействует с электронами-осцплляторами собственная частота которых равна или (причем осцилляторные свойства проявляются при наличии высокочастотного поля) В синхронных режимах, типичных для электронных СВЧ-приборов с длительным взаимодействием, когда «работают» обе «электронные» волны и имеет место так называемое индуцированное черенковское излучение.