Глава 15. Нелинейные динамические системы (общие свойства и методы исследования)

15.1. Основные типы траекторий. Грубость (структурная устойчивость) динамической системы

Начнем с систем с одной степенью свободы. Такие системы, описываемые уравнением второго порядка, качественно могут быть полностью исследованы с помощью анализа поведения траекторий на фазовой плоскости [1-6].

Мы уже привыкли к фазовым портретам линейного осциллятора без трения (состояния равновесия типа «центр» или «седло»), с малым затуханием (состояние равновесия типа «фокус»), с большим затуханием (состояние равновесия типа «узел»). Линейный осциллятор подробно обсуждался в гл. 1, но для дальнейшего изложения полезно еще раз взглянуть на все возможные фазовые портреты линейных автономных систем — они представлены на рис. 15.1 а-г. Исследование нелинейных систем мы начали в двух предыдущих главах с рассмотрения динамики нелинейного осциллятора и простейших моделей автоколебаний. Их уже достаточно сложные фазовые портреты также приведены на рис. 15.1, который собрал в себе все, что мы пока знаем.

Уравнение нелинейного осциллятора как уже говорилось в гл. 13, можно проинтегрировать и найти аналитическое выражение для

Если в системе учесть еще и затухание, т. е. если уравнение будет иметь вид то аналитически найти решение достаточно сложно. Однако из физических соображений ясно, что при малом затухании состояние равновесия «центр» должно перейти в «фокус»; соответствующий фазовый портрет изображен на рис. 15.2.

Теперь посмотрим, что будет, если контур линейный, а затухание нелинейное. Пусть, например, в контуре имеется нелинейная проводимость (рис. 15.3 а). Если затухание знакопостоянно, то характер

(см. скан)

Рис. 15.1. Фазовые портреты линейного и нелинейного осцилляторов. Линейные осцилляторы: состояние равновесия типа в - - «фокус»; г - - «узел» (все состояния равновесия — начало координат). Нелинейные осцилляторы: д - - «седло», «центр»; е - - «седло», «центр», «седло»; ж, з — автоколебательные системы

движений в таком нелинейном контуре будет мало отличаться от характера движения линейного осциллятора с трением; будет меняться только скорость приближения изображающей точки к состоянию равновесия. А что будет нового, когда затухание знакопеременно? Рассмотрим, к примеру, уже знакомую нам схему с туннельным диодом, характеристика которого представлена на рис. 15.36. Если рабочая

Рис. 15.2. Фазовые портреты для неконсервативного нелинейного осциллятора с малой диссипацией - «седло», «фокус»)

Рис. 15.3. Схема линейного контура с нелинейной проводимостью (а); вольтамперная характеристика туннельного диода (б), окружности и траектории, проходящие через них — траектория — предельный цикл; — траектории выходят из окружности радиуса — траектории входят в окружность радиуса (в)

точка выбрана на падающем участке, то характеристика может быть аппроксимирована полиномом

Движение в контуре с такой проводимостью описывается уравнением

или

При больших х — это уравнение осциллятора с нелинейным затуханием, однако состояние равновесия в этой системе неустойчиво. Аналитически в общем случае не удается найти решение уравнения (15.1), но

качественно его можно исследовать полностью. Как мы увидим, в такой системе есть изолированная замкнутая траектория — предельный цикл, соответствующий периодическим автоколебаниям, о которых говорили в предыдущей главе.

Попытаемся сконструировать модель типа (15.1), но более удобную для анализа. Для этого в линейную систему уравнений «введем неустойчивость», добавляя в правые части слагаемые х и у (неустойчивость будет очевидно проявляться при малых значениях и «введем затухание», прибавляя слагаемые (затухание будет проявляться при больших значениях Сконструированная таким образом система уравнений будет иметь вид

Рассмотрим на плоскости окружность радиуса описываемую уравнением и для траекторий, проходящих через эту окружность (рис. 15.3 е), перепишем (15.2) следующим образом:

Найдем интегралы движения для этой системы. Умножим первое уравнение на х, второе на —у и сложим их:

Из уравнения (15.4) сразу следует, что есть периодическое решение, соответствующее а именно

Величина характеризует амплитуду колебаний. Если тогда и значение на траектории нарастает; если же то — все траектории снаружи входят в окружность радиуса Если то и (15.5) есть точное решение уравнения (15.4). Таким образом, окружность на фазовой плоскости является замкнутой фазовой траекторией, к которой стремятся все соседние траектории, т. е. предельным циклом (рис. 15.3 в). Поясним, почему этот предельный цикл устойчив: при все траектории идут внутрь области, ограниченной окружностью радиуса но внутри этой области состояние равновесия (в начале координат) неустойчиво, следовательно, траекториям, входящим в эту область, некуда двигаться, кроме как наматываться на предельный цикл (рис. 15.3 в).

Если в автоколебательной системе кроме нелинейной проводимости есть еще нелинейные элементы типа нелинейных емкости или индуктивности, то фазовые портреты могут выглядеть, например, как на рис. 15.4 а.

Рис. 15.4. Фазовые портреты систем, в которых кроме нелинейной проводимости есть другие нелинейные элементы (а) и пример топологически одинаковых картинок на плоскости (б)

Чтобы полностью охарактеризовать качественное поведение системы с одной степенью свободы, не обязательно знать все фазовые траектории. Достаточно знать только особые: а) состояния равновесия, б) сепаратрис, седел, в) предельные циклы. Зная их взаимное расположение, мы можем нарисовать на плоскости фазовый портрет любой динамической системы, если она грубая.

Что значит «грубая динамическая система»? Понятие грубости было впервые введено А. А. Андроновым и Л. С. Понтрягиным.

Фазовый портрет грубой системы топологически не меняется при малом изменении параметров системы. Не слишком строго топологическая тождественность означает, что картина на фазовой плоскости не меняется качественно, т. е. сохраняются все основные элементы и их взаимосвязи. Если на фазовой плоскости, например, был предельный цикл, а состояние равновесия было неустойчиво, то в грубой системе при изменении параметра остается один цикл и одно неустойчивое состояние равновесия. На рис. 15.4 б приведены примеры топологически одинаковых фазовых картинок. Математически понятие грубости для

систем двух уравнений первого порядка типа можно определить таким образом (см., например, [16]): динамическая система является грубой, если существует такое малое число что все динамические системы, описываемые уравнениями

в которых аналитические функции удовлетворяют неравенству

имеют одинаковую структуру разбиения фазовой плоскости на траектории. Таким образом, понятие грубости вводится как математический образ свойства качественной неизменности характера движения системы при малом изменении ее параметров. При некоторых значениях параметров система перестает быть грубой. Их называют бифуркационными. Бифуркация — приобретение нового качества движениями динамической системы при малом изменении ее параметров [17].