9.3. Импульс волнового пакета

Пусть в среде, которая движется относительно наблюдателя со скоростью (с — скорость света), распространяется волновой пакет. Его энергия в системе координат, движущейся со скоростью V, равна в то время как в неподвижной системе координат энергия равна . Для дальнейших рассуждений [4] воспользуемся тем, что при с имеет место галилеева инвариантность физических процессов: законы изменения состояний физических систем не зависят от того, в какой из инерциальных систем отсчета они происходят (для механики это означает, что уравнения Ньютона инвариантны относительно преобразования Галилея). Ответим сначала на вопрос: как связаны Для этого кроме волнового пакета рассмотрим частицу массы которая движется относительно наблюдателя со скоростью . Величина — относительная скорость движения. Кинетическая энергия дополнительно введенной частицы

Поскольку импульс частиц — энергия в системе координат, движущейся со скоростью V, то с точностью до постоянной величины Предположим далее, что частица и волновой пакет обмениваются энергией и импульсом. Следствием галилеевой инвариантности является следующее соотношение, связывающее

энергию и импульс в движущейся среде:

Структура соотношения (9.33) определяется тем, что оно должно быть в точности совпадающим с написанным выше для частицы. Когда волна и свободная частица взаимодействуют эффективно? При выполнении условий пространственного резонанса, т. е. когда скорость частицы равна фазовой скорости волны Уф, это условие удобно записать в виде условия черенковского излучения Из-за взаимодействия с волной имеет место изменение (уменьшение) энергии частицы связанное с изменением ее импульса. Такое же соотношение вследствие галилеевой инвариантности мы обязаны написать для волнового пакета. Если учесть, что получающиеся изменения энергии и импульса волнового пакета пропорциональны квадрату амплитуды, то и пропорциональны друг другу, т. е. при пространственном резонансе Импульс Р направлен вдоль вектора к, поскольку составляющая скорости частицы, поперечная по отношению к к, может быть произвольной. Поэтому из условия следует, что откуда, в свою очередь, видно, что (фазовая скорость волны есть отношение энергии волны к ее импульсу). Если ввести амплитуду волны соотношением где — число волн в пакете с данным волновым числом к [4], то Используя два последних выражения для и Р в (9.33), находим где — доплеровская частота.