Глава 22. Стохастическая динамика простых систем

22.1. Как появляется случайность в динамической системе

Все рассмотренные в предыдущих главах явления и эффекты относятся к разряду регулярных — это колебания или волны в системах или средах без флуктуаций, не требующие для своего описания статистических методов. Накопленный нами опыт и интуиция говорят о том, что в динамической системе, описываемой регулярными уравнениями, ничего нерегулярного, случайного, стохастического быть не может. Да и откуда взяться случайности, если задан однозначный алгоритм поведения, определяющий при конкретных начальных условиях однозначное будущее системы на сколь угодно больших временах? Конечно, если система очень сложна — обладает большим числом степеней свободы (например, газ в сосуде), мы понимаем, что детерминированное описание теряет смысл (но в принципе возможно). Оно теряет смысл хотя бы потому, что невозможно задать точно начальные координаты и скорости всех, скажем, молекул, находящихся в газа. Кроме того, ни одной ЭВМ не под силу расчет траекторий такого числа частиц с учетом их столкновений друг с другом. В простой системе, когда степеней свободы немного (например, ), такой проблемы не возникает. Задав чисел, описывающих начальное состояние системы, мы, как кажется, можем вычислить (пусть с помощью ЭВМ) ее состояние в сколь угодно далеком будущем. О каком же стохастическом поведении простых систем мы собираемся вести разговор? Как может появиться случайность и, следовательно, непредсказуемость вопреки теореме существования и единственности, гарантирующей при заданных начальных условиях однозначное детерминированное поведение?

Прежде чем ответить на эти вопросы, мы должны сформулировать понятие случайного поведения детерминированных систем.

Случайность движения обычно ассоциируется с двумя обстоятельствами — с очень «чувствительной» зависимостью от начальных условий (которая фактически означает непредсказуемость) и с существованием средних по времени величия. Поясним это.

Предположим, у нас есть генератор случайных колебаний, параметры которого мы не меняем. При многократном включении генератора мы будем получать все время разные осциллограммы. Однако если повторить эксперимент большое число раз, то уже будут проявляться статистические закономерности. Эти закономерности должны быть независимы от вероятностного распределения начальных состояний генератора. Это начальное распределение не является универсальным и должно меняться от генератора к генератору, оно зависит не только от конкретных особенностей элементов схемы, но и от способа включения генератора.

Существование средних величин, не зависящих от особенностей задания начальных условий, представляется наиболее важным для определения стохастичности. Рассмотрим какую-либо функцию мгновенного состояния х нашей детерминированной системы, например, При начальных условиях эта функция меняется во времени как . Пусть для большинства эта функция во времени меняется нерегулярно и даже малое изменение приводит к существенному изменению вида функции Нас будут интересовать случаи, когда существует средняя величина

такая, что для большинства начальных условий в заданной области фазового пространства не зависит от

Обсудим, как в детерминированной системе появляется непредсказуемость индивидуального движения, которая в то же время позволяет перейти к статистическому описанию.

Представим себе в фазовом пространстве системы ограниченную область, из которой фазовые траектории не выходят. Предположим, что все переходные процессы закончились и все траектории в этой области неустойчивы по Ляпунову. Для систем с одной степенью свободы такое предположение бессмысленно: если из какой-то области на фазовой плоскости траектории не выходят, то, поскольку пересечение их невозможно, они либо замкнуты, либо стремятся к простому аттрактору (предельному циклу или состоянию равновесия), и тогда внутри

области есть устойчивые траектории. Однако для систем хотя бы с полутора степенями свободы наше предположение уже оказывается реализуемым. Конкретным устройством области, в которой отсутствуют устойчивые траектории, мы будем подробно заниматься ниже.

Сейчас перечислим только траектории, которые могут существовать внутри такой области: неустойчивые состояния равновесия, неустойчивые циклы и незамкнутые траектории, которые бесконечно блуждают внутри нашей ограниченной области (но не выходят из нее). Из-за ограниченности фазового объема любая незамкнутая траектория через достаточно большое время подойдет к себе самой сколь угодно близко. Но траектория неустойчива, поэтому из этой близости вовсе не следует, что следующий этап движения будет похож на предыдущий. Наоборот, малое возмущение будет нарастать, и дальнейший маршрут изображающей точки невозможно предвидеть.

Из этих рассуждений следует и еще одно проявление неустойчивости — невозможно воспроизвести движение неустойчивой динамической системы, задавая начальные условия со сколь угодно высокой, но конечной точностью. Наиболее четко эту мысль выразили И. С. Крылов, а затем Макс Борн. В частности, данное Борном определение детерминированности заключается в следующем. Каждое состояние измеряется хотя и с малой, но всегда с конечной неточностью поэтому оно определяется не числом, а некоторым вероятностным распределением, и задача состоит в предсказании распределения в момент времени на основе известного начального распределения. Если данное решение устойчиво и начальные возмущения не нарастают, то более позднее состояние предсказуемо и теория может называться детерминистической. Борн подчеркивает, что данное определение детерминированности отличается от традиционного изменением последовательности предельных переходов при Обычно сначала область начального рассеяния стягивается в точку, а затем смотрится поведение при (и, конечно, получается полная предсказуемость!). Этот путь, однако, является нефизичным, и его следует заменить другим: сначала при заданном определить поведение траекторий и область конечного рассеяния (т. е. поперечное сечение трубки траекторий) при любом t и определить, как ведет себя конечное рассеяние при а затем уже устремить начальное рассеяние к точке. Если конечное рассеяние траекторий при нарастает, то поведение системы непредсказуемо.

Поясним это на примерах. Обратимся к уже известным нам фазовым портретам некоторых динамических систем второго порядка (рис. 22.1). В случае рис. 22.1 а система имеет единственное

Рис. 22.1. Эволюция элементарного фазового объема на плоскости в случаях: а — устойчивого состояния равновесия; предельного цикла; в — сепаратрисы, идущей из седла в седло

асимптотически устойчивое состояние равновесия (фокус). Ясно, что здесь движение системы абсолютно предсказуемо: любая область начальных отклонений стягивается в точку при . В случае рис. 22.16 ситуация сходная: при движение полностью определено — это периодическое движение с известными амплитудой и периодом; на фазовой плоскости ему соответствует устойчивый предельный цикл. При наличии разброса в начальных отклонениях остается неопределенной только фаза конечного движения (точка, в которой траектория выходит на предельный цикл). В случае рис. 22.1 в движение при остается предсказуемым, если начальные отклонения принадлежат области однако их принадлежность области может уже привести к существенно разным движениям, хотя это еще и не полная непредсказуемость.

Рис. 22.2. Эволюция элементарного фазового объема на плоскости в случае неустойчивого состояния равновесия

Ситуация меняется, если траектории на фазовой плоскости перестают быть устойчивыми по Ляпунову. Например, в случае неустойчивого фокуса (рис. 22.2) малый разброс начальных отклонений ведет к тому, что при достаточно большом уже нельзя точно определить состояние системы (она может находиться в любой точке области а).

Таким образом, наличие неустойчивости для непредсказуемости необходимо. Но для стохастичности этого еще недостаточно. Нужно еще перепутывание траекторий, а для этого необходимо, чтобы они оставались в конечной области фазового пространства, т. е. нужна возвращаемость фазовых траекторий. На фазовой плоскости с примером возвращаемости траекторий мы встречались: точка, движущаяся по замкнутой

траектории, близкой, например, к сепаратрисе, выходя из окрестности седла, возвращается в нее же. Однако никакой случайности тут нет. Для получения случайного движения надо, чтобы изображающая точка имела возможность двигаться по разные стороны от сепаратрисы — то по замкнутым траекториям, то уходя от них. На плоскости в силу того, что фазовые траектории не пересекаются, этого быть не может. Но уже в трехмерном фазовом пространстве (система с полутора степенями свободы) подобные ситуации возможны.

Итак, для возникновения стохастических движений в динамической системе необходимо, чтобы в фазовом пространстве этой системы:

а) все (или почти все) соседние траектории внутри некоторой области разбегались; б) все они оставались внутри ограниченного фазового объема. Подчеркнем, что неустойчивость всех (или почти всех) траекторий, располагающихся в ограниченной области фазового пространства, обычно и служит математическим критерием стохастичности.

В трехмерном фазовом пространстве указанное поведение траекторий легко себе представить: разбегаться они могут по двумерной поверхности, а возвращаться — выйдя в пространство.

Рис. 22.3. Простой пример возвращающейся неустойчивой траектории: траектория — раскручивающаяся плоская спираль, хвост которой, загибаясь к ее началу, вновь раскручивается

Траектория при этом может выглядеть, например, как раскручивающаяся плоская спираль, хвост которой, возвращаясь к ее началу, вновь раскручивается (рис. 22.3). Располагаясь таким образом, траектория заполняет ограниченный объем, нигде не замыкаясь, и ведет себя очень сложно и запутанно. Имея в виду сложность индивидуальной установившейся траектории и совершенно различное поведение траектории, имеющих сколь угодно близкие начальные условия, мы приходим к пониманию того, что появление статистических черт в поведении динамической системы связано с двумя обстоятельствами: во-первых, в определенном смысле случайна почти каждая из незамкнутых траекторий, располагающихся внутри ограниченного объема, и, во-вторых, естественным образом появляется понятие ансамбля, к которому мы привыкли в приложениях теории вероятности. Это ансамбль разнообразных отрезков траекторий внутри нашего неустойчивого объема. Такой ансамбль обычно определяют, задавая плотность распределения вероятностей на фазовом пространстве. Физически такое задание

вероятностей соответствует рассмотрению эволюции ансамбля тождественных систем с различными начальными условиями. Подчеркнем, что переход к ансамблю не означает добавления к нашей динамической системе какого-либо случайного фактора; это лишь способ, позволяющий количественно определить число траекторий с теми или иными свойствами.

Для исследования конкретных статистических свойств динамической системы необходима какая-то гипотеза, позволяющая проводить усреднение. В приложениях теории вероятностей, как известно, истинные вероятности определяются на основании статистических наблюдений частот появления тех или иных событий. Существование пределов этих частот есть следствие закона больших чисел. Для динамических систем вместо рядов статистических наблюдений рассматривают средние по времени характеристики траекторий. Такой характеристикой может быть, например, доля времени, проводимая отрезком траектории длины Т в определенной ячейке фазового пространства. В случае, когда для любой ячейки и большинства траекторий (за исключением, может быть, множества траекторий меры нуль) существует предел при Т —У доли времени, проводимого таким бесконечно длинным отрезком траектории в ячейке, и когда этот предел не зависит от траектории, ансамбль из отрезков траекторий называют эргодическим. Свойство эргодичности позволяет заменить усреднение по ансамблю усреднением по времени.

В консервативных системах, в которых энергия сохраняется, существование временных средних следует из эргодической теории динамических систем, независимость же средних от траектории пока остается в общем случае гипотезой, которая восходит еще к Л. Больцману.

Эргодичность — это, конечно, еще не случайность, более того, совсем простое квазипериодическое движение где несоизмеримы (т. е. , где — целые), будет эргодичным. В фазовом пространстве такому движению соответствует нигде не замыкающаяся намотка тора. Усреднение по ансамблю траекторий здесь эквивалентно усреднению по времени, но разбегания траекторий здесь нет.

О степени стохастичности движения системы часто судят по скорости спадания автокорреляционной функции

Здесь по-прежнему предполагается эргодичность. Присутствие в периодической или квазипериодической составляющей означает, что в исследуемом движении есть периодические или квазипериодические компоненты (например, незамкнутая траектория на торе). Развитая стохастичность приводит к тому, что функции очень быстро становятся независимыми, т. е. достаточно быстро стремится к нулю. Спектр реализации в этом случае сплошной.

Напомним, что корреляционная функция характеризующая зависимость значения переменной в данный момент времени от значений в другой момент, всегда действительная четная функция с максимумом в точке Эта функция может быть как положительной, так и отрицательной. Функция имеющая вид острого импульса с быстрым спаданием к нулю, характерна для широкополосного случайного процесса с нулевым средним значением (если среднее не равно нулю, то Для белого шума — случайного процесса, энергия которого равномерно распределена по всем частотам, имеет вид -функции.

Если речь идет о стационарном случайном процессе, то фурье-образ автокорреляционной функции — это спектральная плотность процесса, равная среднему от квадрата значений реализации, пропущенной через частотный фильтр с полосой пропускания

или

Спектр — всегда действительная неотрицательная функция.

Если спадание (к среднему) экспоненциально, то говорят, что в системе есть перемешивание. Перемешивание есть несомненный признак стохастичности динамической системы [1]. Достаточно наглядно процесс перемешивания в фазовом пространстве можно представить себе следующим образом. Возьмем ансамбль траекторий с начальными условиями внутри маленького фазового объема — «капли фазовой жидкости». Пусть эта «капля» отличается по цвету от остальной жидкости внутри рассматриваемой области фазового пространства. Если

Рис. 22.4. Эволюция «капли фазовой жидкости» в окрестности предельного цикла

в этой области есть, например, устойчивый предельный цикл, то через некоторое время наша капля растянется вдоль предельного цикла (рис. 22.4) и окрасит лишь узкий поясок в окрестности цикла. Если же все траектории внутри ограниченной области неустойчивы, то капля будет непрерывно растягиваться, приобретая все более сложную форму, и при она более или менее равномерно окрасит всю область, т.е. перемешивается с неокрашенной жидкостью. Таким образом, в системе с неустойчивыми траекториями начальное распределение вероятностей стремится к некоторому установившемуся — инвариантному — вероятностному распределению, которое и определяет статистические свойства стохастических движений детерминированной системы.

Итак, мы будем говорить, что динамическая система является стохастической, если: 1) существует предельное распределение вероятностей в фазовом пространстве системы, к которому стремится любое начальное неравновесное распределение (мы здесь для простоты считаем, что такое распределение единственно); 2) поведение системы эргодично-среднее по времени для произвольной функции, заданной в фазовом пространстве, равно среднему по предельному (инвариантному) распределению; 3) движение системы характеризуется сплошным спектром, т. е. спадающей автокорреляционной функцией [1].

Для каждой конкретной системы проверка этих условий представляет собой чрезвычайно трудную математическую задачу. Поэтому мы обычно будем ограничиваться проверкой более слабых условий. В частности, будем пользоваться критерием стохастичности, в основе которого лежит определение величины характеризующей разбегание соседних траекторий в линейном приближении: если эта величина положительна, то движение стохастично. Математическим образом стохастического движения динамической системы является стохастическое множество траекторий в ее фазовом пространстве. Для гамильтоновых систем и диссипативных систем эти множества обладают различными свойствами.

Согласно теореме Лиувилля фазовая жидкость гамильтоновой системы несжимаема, т. е. начальный поток траекторий сохраняет свой

объем в фазовом пространстве. При этом справедлива теорема Пуанкаре о возвращении (см., например, [2]), согласно которой почти все траектории, расположенные в ограниченном фазовом объеме, будут бесконечное число раз проходить сколь угодно близко к своим начальным точкам (из-за несжимаемости фазовой жидкости им просто некуда деваться). Граница стохастического множества в этом случае может быть устроена очень сложно, а само стохастическое множество может «разрываться» произвольным числом областей, где движение регулярно — так называемые «островки» устойчивости.

В диссипативных системах ситуация иная — по определению фазовый объем в таких системах в среднем сжимается, т. е. в среднем по фазовому пространству (u — векторное поле в фазовом пространстве). Хотя сжатие фазового объема — локальное свойство фазового потока (его можно проверить в любой момент времени в каждой точке), в практически встречающихся системах с трением или вязкостью оно часто влечет за собой глобальное свойство — существование в фазовом пространство аттрактора — замкнутого множества, к которому при стремятся все окружающие траектории и остаются в нем. Устойчивое состояние равновесия и устойчивый предельный цикл — знакомые нам примеры регулярных аттракторов. Поскольку фазовый объем в диссипативной системе сжимается, аттрактор имеет нулевой фазовый объем. Всякая траектория, не принадлежащая аттрактору, является переходной.

Таким образом, стохастическое множество в диссипативной системе — это замкнутое притягивающее множество траектории, на котором все принадлежащие ему траектории неустойчивы. Такое множество называют странным аттрактором [34, 35]. Размерность странного аттрактора всегда меньше размерности фазового пространства.

Обратим внимание на то обстоятельство, что большинство физических диссипативных систем со странными аттракторами, строго говоря, не удовлетворяют определению стохастической системы, которое мы дали выше. Дело в том, что странный аттрактор наряду с множеством неустойчивых траекторий может включать в себя и устойчивые периодические траектории, однако области их притяжений настолько малы, что они не сказываются на поведении системы ни в физическом, ни в численном эксперименте. Именно поэтому диссипативные системы с такими аттракторами мы будем называть стохастическими.