6.4. Устойчивость неавтономных систем

Для неавтономных систем, как уже упоминалось, необходимо исследовать устойчивость движения, которое происходит под действием внешней силы. Сделаем это на примере уравнения

Рассмотрим движение с нулевыми начальными условиями:

Применим к (6.11), (6.12) преобразование Лапласа, используя определение

где — оригинал, а — изображение. Тогда в пространстве изображений

где согласно — знак соответствия между изображением и оригиналом. Здесь — вектор, компоненты которого

Рис. 6.5. Схема, поясняющая уравнение (6.14) (а); блочная схема в случае двух систем с передаточными функциями соединенных между собой (б), и схема колебательной системы с обратной связью положительная обратная связь; незатухающие колебания; неустойчивость; отрицательная обратная связь (в)

означают входные переменные, а — вектор, компоненты которого означают выходные переменные. Функция определяющая связь между этими векторами, называется передаточной; она зависит от коэффициентов а т. е. от внутренней структуры системы. Соотношение (6.14) полезно представить в виде схемы (рис. 6.5 а). Подобное представление удобно, когда анализируется несколько соединенных между собой систем (рис. 6.56), особенно при наличии обратных связей.

Возвращаясь в пространство оригиналов и используя правило соответствия между сверткой оригиналов и произведением изображений:

получаем из (6.13), что

Чтобы найти оригинал для изображения

разложим на простые дроби. С этой целью определим сначала нули многочлена Пусть ими будут тогда очевидно, что

Допустим, что все а различны. В этом случае функция

имеет простые полюсы при Умножим (6.17) на и перейдем в полученном соотношении к пределу при Но поэтому

Находя аналогичным образом другие коэффициенты, получаем [5]:

Следовательно,

Подставляя (6.19) в (6.15), окончательно будем иметь

Легко видеть, что решение будет ограниченным, если все показатели экспонент имеют отрицательные действительные части. Следовательно, нужно, чтобы все корни характеристического полинома соответствующей автономной системы лежали слева от мнимой оси. Таким образом, для исследования устойчивости неавтономной системы можно использовать те же критерии, что и для автономной.