12.4. Распространение волн в плоскослоистой среде в приближении геометрической оптики

При изучении распространения электромагнитных волн в изотропной плазме и радиоволн через атмосферу Земли, а также акустических

волн в жидкости, в волноводах с нерегулярным заполнением, в земной коре и т. п. широко и успешно используется модель неоднородной среды, свойства которой изменяются только в одном направлении, т. е. при при Здесь и далее не будем учитывать случайных флуктуаций свойств среды. Рассмотрим волну, у которой плоскость падения совпадает с плоскостью а волновой вектор составляет угол с осью х. Для плоскослоистой среды уравнение эйконала имеет вид

Из уравнений (12.42) с учетом того, что находим

Так как то при когда имеют место соотношения: Интегрируя уравнение (12.56) получаем

Знак перед корнем определяется направлением распространения луча: минус соответствует распространению в положительном направлении х, плюс — в отрицательном. Из уравнений (12.42) с учетом соотношения (12.57) легко получить уравнение траектории луча:

Уравнение (12.44) приводит к равенству

которое является обобщением закона Снеллиуса на случай плоскослоистой среды. Из равенства (12.59) видно, что при угол уменьшается с высотой, а при он растет, т. е. в плоскослоистой среде луч искривляется — имеет место рефракция. Легко понять,

что на высоте определяемой из условия происходит поворот луча, что аналогично явлению полного внутреннего отражения.

Определим амплитуду волны из уравнения переноса (12.34), выписав для удобства . С учетом закона (12.59) будем иметь

и, наконец,

Характеристическая система обыкновенных дифференциальных уравнений, соответствующая уравнению (12.62), имеет вид

Откуда

Общее решение (12.29) волнового уравнения может быть записано с учетом (12.63) следующим образом:

Два знака в формуле (12.64) соответствуют двум волнам, распространяющимся в сторону возрастающих и в сторону убывающих значений х. Обе волны распространяются независимо, т. е. в приближении геометрической оптики частичного отражения волн от неоднородной среды не происходит.

При т. е. в той области, в которой происходит поворот луча, амплитуда волны стремится к бесконечности, и, следовательно, решение (12.64) в данном случае несправедливо. Как указывалось выше, при распространении волн в неоднородной среде возможно образование фокусов и каустик. В случае, если уравнение семейства лучей,

выходящих под углом из некоторой точки с координатами имеет вид

где является параметром, то уравнение каустики — огибающей семейства лучей — находится [17] исключением из уравнения (12.65) и уравнения

Понятно, что приближение геометрической оптики неприменимо в областях, близких к каустикам.

Как выглядят в случае плоскослоистой среды условия применимости геометрической оптики — неравенства (12.35) и Для ответа на этот вопрос определим с помощью формул (12.57) и (12.63) значения После простых преобразований находим

Неравенство (12.68) выражает ограничение, накладываемое на и менее существенно, чем неравенство (12.67). В чем же смысл последнего? Пусть тогда

где — длина волны в среде. Из неравенства (12.69) следует, что приближение геометрической оптики справедливо, когда свойства среды изменяются медленно на расстояниях порядка длины волны. Если длина волны в среде и изменения свойств среды даже при малой производной на расстояниях порядка длины волны будут велики, так что неравенство (12.69) нарушается. Очевидно, что оно нарушается и в случае, когда производная велика.

При вертикальном падении волны на неоднородную среду обращение показателя преломления среды в нуль есть условие отражения волны от среды. Такое условие реализуется, например, для плазмы в радиодиапазоне [18]. В то же время, как указано в [18], в разреженной плазме резкие градиенты (производная велика) могут возникнуть лишь как спорадическое явление. В отсутствие поглощения для плазмы с концентрацией на частоте

При достаточно больших или малых со квадрат показателя преломления обращается в нуль. В случае вертикального падения и согласно соотношению (12.70) в точке отражения

(здесь — частота). Эта формула является одним из основных соотношений, на основе которых интерпретируются ионосферные данные, результаты радиоастрономических исследований солнечной атмосферы и др. [18].

Там, где условия применимости приближения геометрической оптики нарушаются, нужно найти либо способы выхода за границы приближения, либо точное решение уравнения, описывающего волновое распространение в неоднородной среде. Для уравнения такого типа, как, например,

точное решение может быть получено в нескольких частных случаях зависимости — линейной, параболической, экспоненциальной и т. д. Будем искать решение уравнения (12.72) вблизи точки поворота, так как вдали от нее хорошо «работает» решение (12.64). Предположим, что среда плоскослоистая (ее свойства в направлении z не меняются и, следовательно, где при и будем рассматривать волну, плоскость распространения которой лежит в плоскости . С учетом сказанного уравнение (12.70) примет вид

Его нужно решать при условии При плавном изменении свойств среды в окрестности точки поворота луча можно считать, что изменяется по линейному закону, т. е. , где — расстояние от начала неоднородного слоя до области отражения. В этом случае уравнение (12.73) можно записать так:

Сделаем в уравнении (12.74) замену переменных что превращает его в уравнение

решение которого известно и имеет вид

где — функция Эйри. Решение уравнения (12.75) может быть представлено также через функции Ханкеля порядка 1/3 (см., например, [17]). При

Если то естественно воспользоваться асимптотическими выражениями для функций Ханкеля при больших значениях аргумента, что дает

Подставляя выражения (12.79) и (12.80) в формулы (12.77) и (12.78), находим при

и при

Возвращаясь к переменной из соотношений (12.81) и (12.82) окончательно получаем при

при

Легко видеть, что выражение (12.83) отличается от решения (12.64), полученного в приближении геометрической оптики, лишь постоянными добавками, входящими в фазу падающей и отраженной волн. Кроме того, в отличие от формулы (12.64) в соотношения (12.83) и (12.84) не включена очевидная зависимость от

Рис. 12.2. Зависимость функции от иллюстрирующая характер изменения амплитуды поля вблизи области отражения в неоднородной среде

Поле при есть стоячая волна. Ее амплитуда увеличивается с приближением к области отражения, сохраняя везде конечное значение. Волнового процесса нет, когда — в эту область проникает лишь экспоненциально затухающее поле. Когда происходит полное отражение волны (при отражении падающая и отраженная волны сдвинуты по фазе на Описанные процессы иллюстрируются рис. 12.2, взятом из [17].