15.2. Основные бифуркации на плоскости. Индексы Пуанкаре

Бифуркация — математический образ, отвечающий перестройке характера движения физической системы, химической системы и т. д. Математическое определение бифуркации опирается на понятие топологической эквивалентности динамических систем. Согласно, например, [17] две системы топологически эквивалентны, если движения одной из них могут быть сведены к движениям другой непрерывной заменой координат и времени. Рассмотрим в качестве примера фазовые портреты на рис. 1.3 и 1.4, которые на первый взгляд кажутся совершенно различными. Введением новой системы координат их можно свести один к другому (предоставляем это читателю), т. е. переход от фазового портрета на рис. 1.3 к фазовому портрету на рис. 1.4 не есть бифуркация, поскольку бифуркация — это переход от одной системы к топологически неэквивалентной.

У грубых динамических систем на фазовой плоскости могут быть только простые состояния равновесия типа «фокус», «узел» и «седло» и притягивающие замкнутые фазовые траектории — устойчивые или неустойчивые предельные циклы.

Рассмотрим простейшие бифуркации автономных систем на фазовой плоскости, происходящие при изменении параметров системы. Простейшим бифуркациям соответствуют переходы через так называемые негрубые системы первой степени негрубости, когда появляется только одна траектория из запрещенных в грубых системах: а) состояние равновесия седло-узел; б) сложный фокус; в) сепаратриса, идущая из седла в то же самое седло (сепаратрисная петля) или в другое седло; г) двойной предельный цикл.

Обсудим эти бифуркации подробнее. Пусть изменение состояния системы происходит в результате изменения некоторого параметра а. Бифуркационное значение параметра обозначим через . Бифуркация первого типа изображена на рис. 15.5 а. При значении параметра в системе существовало два состояния равновесия - седло и узел. При о они слились, образовав сложную особую точку седло — узел. При последующем увеличении параметра а состояние равновесия исчезает.

Бифуркация второго типа представлена на рис. 15.5 б. Состояние равновесия (фокус) теряет свою устойчивость. При этом рождается устойчивый предельный цикл.

Третий тип бифуркаций иллюстрируется рис. 15.5 в, г. На рис. 15.5 г из сепаратрисной петли рождается предельный цикл На рис. 15.5 д показано рождение двойного цикла из так называемого сгущения фазовых траекторий. Этот цикл «полуустойчив»: внутри цикла все фазовые траектории удаляются от него, снаружи приближаются.

Итак, чтобы построить портрет динамической системы на фазовой плоскости, надо знать состояния равновесия, сепаратрисы седел и предельные циклы. Если варьировать параметры, то всегда можно понять, как будет меняться картинка на фазовой плоскости. Зная, какие бифуркации возможны, мы определим и качественные изменения фазового портрета. А нарисовав фазовую плоскость, увидим, какие возможны движения — финитные, уходящие в бесконечность, приводящие к устойчивому равновесию и т. д.

Рассмотрим в заключение этого параграфа законы совместного существования различных типов состояний равновесия и замкнутых траекторий. Пусть есть векторное поле на плоскости. Нарисуем замкнутый контур, не проходящий через состояние равновесия (рис. 15.6 а). Если взять на этом контуре точку и двигать ее вдоль контура, то вектор поля, проходящий через эту точку, будет непрерывно вращаться. Когда точка сделает полный оборот, то вектор повернется на угол

(кликните для просмотра скана)

Рис. 15.6. К объяснению индексов Пуанкаре замкнутой кривой, окружающей одну или несколько точек равновесия: контура состояний равновесия нет); центр (то же самое для узла и фокуса); в седло; предельный цикл

где — целое число. Направление вращения вектора будем считать положительным, если оно совпадает с направлением движения точки Целое число называется индексом Пуанкаре данного контура. Для контура, изображенного на рис. Если состояние равновесия окружить замкнутым контуром, то нетрудно убедиться, что индексы Пуанкаре для центра, узла, фокуса равны а для седла они равны —1 (рис. . Для предельного цикла Индекс замкнутой кривой, содержащей внутри себя несколько особых точек, равен сумме индексов этих точек (рис. 15.6 г). Отсюда сразу ясно, например, что предельного цикла, внутри которого находятся два седла или два седла и фокус, существовать не может, так как для него а для трех таких состояний равновесия сумма индексов равна — (рис. 15.6 д). А вот в случае седла и двух фокусов предельный цикл может существовать (рис. 15.6е), так как в этом случае сумма индексов равна . Два состояния равновесия (седло и узел), представленные на рис. 15.5 а, могут слиться и исчезнуть, так как их совместный индекс а вот три состояния равновесия на рис. исчезнуть не могут. Итак, опираясь на теорию индексов Пуанкаре, можно утверждать следующее:

1. Внутри замкнутой фазовой траектории находится по крайней мере одна особая точка, так как индекс такой траектории равен

а индекс замкнутой кривой, внутри которой нет особых точек, равен нулю.

2. Если внутри замкнутой фазовой траектории находится одна особая точка, то это не может быть седлом, а обязательно будет точкой с индексом

3. Если внутри замкнутой фазовой траектории находятся несколько простых особых точек, то число их всегда нечетно, а число седел на единицу меньше числа остальных особых точек.