4.4. Типичные дисперсионные характеристики сред-моделей

Рассмотрим наиболее типичные дисперсионные характеристики различных одномерных сред, воспользовавшись для наглядности эквивалентными схемами из LC-цепочек. С помощью LC-цепочек можно реализовать практически любую дисперсионную зависимость, поэтому такие цепочки могут служить моделями при исследовании распространения волн в различных средах.

Будем исходить из телеграфных уравнений

дополненных уравнениями связи заряда с напряжением и магнитного потока Ф с током I:

В общем случае — дифференциальные или интегральные операторы, и только в средах без дисперсии связь между переменными мгновенна: (уравнения связи становятся алгебраическими). Заряд (или поток) не зависит от напряжения или тока в соседних точках или в соседние моменты времени. Если и Ф — дифференциальные операторы, содержащие производные по или по х, то связь между переменными нелокальна, и можно говорить о среде с временной или пространственной дисперсией соответственно.

Рис. 4.14. Эквивалентная схема цепочки: — погонное сопротивление; — шунтирующая проводимость

Описанный выше подход мы уже использовали в частном случае применительно к схеме рис. 4.13 в конце предыдущего раздела. Найдем дисперсионное уравнение, соответствующее весьма общей эквивалентной схеме цепочки, представленной на рис. 4.14, полагая, что Уравнения для комплексных амплитуд имеют вид

Если предположить, что то из условия разрешимости системы для амплитуд найдем дисперсионное уравнение

Конкретный вид определяется уравнениями связи.

Рис. 4.15. Эквивалентная схема среды-модели без дисперсии и ее дисперсионная характеристика

Рассмотрим различные дисперсионные характеристики моделей из LC-элементов, используя (4.38).

Среда без дисперсии. Для цепочки, представленной на рис. 4.15, . По дисперсионному уравнению можно восстановить соответствующее дифференциальное уравнение. В данном случае это — волновое уравнение

Фазовая скорость следовательно, модель соответствует среде без дисперсии. Эта модель описывает распространение электромагнитной волны в вакууме, звуковых волн в чистой воде, низкочастотного звука в твердом теле, основной прямой пространственной гармоники в замедляющих системах для электронных усилителей бегущей волны (например, в спирали).

Среда с дисперсией в области низких частот (рис. 4.16). Рассмотрим модель среды, дисперсия в которой описывается уравнением

а соответствующее уравнение в частных производных — линейное уравнение Клейна-Гордона (уравнение (4.27)). Таким образом, цепочка на рис. 4.16 — это электрический аналог модели связанных маятников, когда в Такая среда-модель описывает, в частности, распространение электромагнитных волн в плазме, при этом — плазменная частота), распространение волн в волноводе и т. д.

Среда с дисперсией в области высоких частот. Распространение волн в длинной линии, состоящей из ячеек, показанных на рис. 4.17, описывается уравнениями в частных производных:

Полагая, что все переменные величины изменяются по закону и вводя обозначения из (4.39) получаем

Рис. 4.16. Эквивалентная схема среды-модели с дисперсией в области низких частот и ее дисперсионная характеристика

Рис. 4.17. Типичная ячейка длинной линии, использованной в экспериментах [7]: см

дисперсионное уравнение

Очевидно, что можно было бы не выписывать (4.39), а найти непосредственно из эквивалентной схемы что с учетом (4.38) сразу даст (4.40). Однако мы хотели лишний раз продемонстрировать, как появляется дисперсия из-за нелокальной связи переменных (см. материальное уравнение Интересно, что дисперсия в данной среде-модели такая же, как и в случае длинной линии с индуктивной связью между ячейками (см. рис. 4.13). Дисперсионная кривая, представленная на рис. 4.18, определялась в обычном для таких целей эксперименте [7], когда один конец линии нагружен на сопротивление, не равное характеристическому сопротивлению линии . Из-за отражений в линии устанавливается картина стоячих волн. Длину волны находят с помощью зонда и лампового вольтметра, измеряя расстояние между минимумами стоячих волн. Самой высокой частоте соответствует длина волны приблизительно Как показано в работе [7], данная среда-модель количественно «описывает» распространение ионных акустических волн (ионный звук) в плазме. Эта линия моделирует также распространение звука в твердом теле (звуковая волна распространяется без дисперсии, пока ее волновое число к много меньше обратного вектора решетки (а — расстояние между ионами решетки), в противном случае становится уже существенной пространственная дисперсия, связаяная с дискретностью «среды»), спиновые волны в ферромагнетике и т. д.

Рис. 4.18. Теоретическая (сплошная кривая) и измеренная экспериментально (точки) дисперсионная характеристика для изображенной на рис. 4.17 линии

Рис. 4.19. Эквивалентная схема среды-модели, в которой есть собственные осцилляторы (а), ее дисперсионная характеристика (нижняя ветвь — акустическая, верхняя — оптическая) (б) и плотность числа осцилляторов для среды с низкочастотными и высокочастотными колебаниями (в)

Среда из осцилляторов (рис. 4.19). Дисперсионное уравнение имеет

где

Примером является среда с упругими диполями для электромагнитных волн или неизотермическая плазма для ленгмюровских и ионнозвуковых волн. При волна не замечает собственных колебаний диполей, и среда ведет себя как среда без дисперсии. При близких к дисперсия уже существенна.

Рис. 4.20. Эквивалентная линия передачи, соответствующая распространению обратной волны (а), и ее дисперсионная характеристика (б). Групповая скорость равна и противоположно направлена фазовой скорости

Модель замедляющей системы, в которой распространяется обратная пространственная гармоника. Дисперсионное уравнение имеет вид Разрыв на дисперсионной характеристике в области соответствует пространственно однородному полю, которое, очевидно, не реализуется в такой системе (за исключением тривиального случая Заметим, что данная модель описывает и распространение поперечной волны в упругих стержнях (рис. 4.20).