Главная > Введение в теорию колебаний и волн
НАПИШУ ВСЁ ЧТО ЗАДАЛИ
СЕКРЕТНЫЙ БОТ В ТЕЛЕГЕ
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Пред.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227
228
229
230
231
232
233
234
235
236
237
238
239
240
241
242
243
244
245
246
247
248
249
250
251
252
253
254
255
256
257
258
259
260
261
262
263
264
265
266
267
268
269
270
271
272
273
274
275
276
277
278
279
280
281
282
283
284
285
286
287
288
289
290
291
292
293
294
295
296
297
298
299
300
301
302
303
304
305
306
307
308
309
310
311
312
313
314
315
316
317
318
319
320
321
322
323
324
325
326
327
328
329
330
331
332
333
334
335
336
337
338
339
340
341
342
343
344
345
346
347
348
349
350
351
352
353
354
355
356
357
358
359
360
361
362
363
364
365
366
367
368
369
370
371
372
373
374
375
376
377
378
379
380
381
382
383
384
385
386
387
388
389
390
391
392
393
394
395
396
397
398
399
400
401
402
403
404
405
406
407
408
409
410
411
412
413
414
415
416
417
418
419
420
421
422
423
424
425
426
427
428
429
430
431
432
433
434
435
436
437
438
439
440
441
442
443
444
445
446
447
448
449
450
451
452
453
454
455
456
457
458
459
460
461
462
463
464
465
466
467
468
469
470
471
472
473
474
475
476
477
478
479
480
481
482
483
484
485
486
487
488
489
490
491
492
493
494
495
496
497
498
499
500
501
502
503
504
505
506
507
508
509
510
511
512
513
514
515
516
517
518
519
520
521
522
523
524
525
526
527
528
529
530
531
532
533
534
535
536
537
538
539
540
541
542
543
544
545
546
547
548
549
550
След.
Макеты страниц

Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше

Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике

ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO

24.4. О механизмах самоорганизации

Обычно на линейной стадии нарастает широкий спектр пространственных возмущений. Однако, когда неустойчивости резонансны, т. е. нарастают лишь возмущения определенного пространственного масштаба, не они зачастую определяют масштаб возникших структур, а их последующее взаимодействие с другими. Таким образом, главным здесь представляются не особенности неустойчивостей (хотя и они важны), а механизмы отбора и формирования структур на линейной стадии. Здесь же довольно мало конкретных результатов, поэтому мы ограничимся обсуждением лишь простейших механизмов формирования различных пространственных масштабов и их взаимной синхронизации. Сделаем это на примере бенаровской конвекции.

Ограничимся при нашем рассмотрении случаем слабого превышения над порогом конвективной неустойчивости (см. гл. 21) в жидкостях с квадратичной зависимостью вязкости от температуры. При этом поле скорости можно представить в виде большого числа

синусоидальных мод, не учитывая их пространственных гармоник, — при малой надкритичности нелинейность также можно считать малой. Если бы дополнительная нелинейность, связанная с зависимостью вязкости от температуры, отсутствовала, в подогреваемом плоском слое жидкости устанавливалась бы простейшая конвективная структура в виде валов (см. гл. 21). Пространственный масштаб этих валов определяется, как мы уже говорили, конкуренцией мод с близкими пространственными масштабами. В случаях, когда можно не учитывать граничные условия, ориентация этих валов на плоскости произвольна и определяется лишь начальными условиями.

Дополнительная квадратичная нелинейность, возникающая из-за зависимости вязкости от температуры, приводит к резонансной связи между модами одного масштаба и различной пространственной ориентации. Простейший вариант такой связи — это связь трех мод с одинаковыми по модулю и развернутыми друг относительно друга на 60° волновыми векторами: где . Нелинейное взаимодействие приводит к установлению стационарной конвекции с равными амплитудами этих мод и синхронизованными фазами (как и в рассмотренном примере). В результате поле скорости принимает вид

— вертикальная компонента скорости жидкости). Ориентация ячеек в пространстве произвольна и зависит лишь от начальных условий. Для нахождения решения, описывающего такую структуру, следует представить в виде

Для действительных амплитуд можно получить уравнения

Таким образом, линейная неустойчивость переходит во взрывную, вызванную взаимодействием параметрических связанных мод на диссипативной нелинейности Ограничение неустойчивости происходит за счет кубичной нелинейности в зависимости вязкости от температуры. Система (24.14) имеет устойчивое стационарное решение которое и соответствует шестигранным призматическим ячейкам(см. рис. 24.1 а).

Таким образом, из приведенного примера видно, что именно синхронные взаимодействия между модами определяют форму возникающих в результате неустойчивостей пространственных структур. Конкуренция же обеспечивает устойчивость этих структур по отношению к нерезонансным возмущениям.

Помимо поисков и открытий новых видов структур и исследования механизмов их образования в теории самоорганизации сегодня появилась новая увлекательная область — направленная организация структур с помощью внешних полей. Чтобы проиллюстрировать нетривиальность задач подобного рода, приведем один сравнительно простой пример. Рассмотрим влияние статического периодического в пространстве поля на диссипативные структуры в одномерной среде. Исходным будет уравнение диффузии

При в такой среде существуют диссипативные структуры, описываемые уравнением осциллятора

В присутствии периодической неоднородности естественно ожидать навязывание периодической структуры заданного периода. Однако даже при слабой неоднородности (малом структуры оказываются стохастическими [25].

Анализ поведения диссипативных структур или бегущих импульсов во внешних полях представляет собой частный случай задачи о поведении когерентных образований в поле друг друга, т. е. задачи об их взаимодействии. Сюда относятся задачи о столкновении нервных импульсов, фронтов горения, цилиндрических и спиральных волн. Очевидный интерес представляет анализ взаимодействия структур разного типа и природы. В этих направлениях уже имеются определенные успехи. Отметим, в частности, эксперимент Агладзе и Кринского [25], в котором на примере двумерной реакции Белоусова-Жаботинского наблюдалось взаимодействие спиральных вихрей со структурами типа бенаровских ячеек. В результате такого взаимодействия реакция переходила

в стохастический режим, появлялась «химическая» турбулентность.

В [29, с. 7-44] обсуждены проблемы, связанные с формированием автоструктур (не зависящих от начальных и граничных условий локализованных образований) в неравновесных диссипативных средах, и исследована динамика пространственных ансамблей таких структур. В частности, проведен анализ простой модели — одномерного ансамбля не взаимно связанных структур, представляющих собой цепочку, состоящую из элементов, динамика которых описывается одномерным отображением типа параболы. Напомним, что такое отображение описывает динамику самых различных физических систем, демонстрирующих при изменении параметра цепочку бифуркаций удвоения периода. Пусть параметры цепочки выбраны так, что в первом элементе реализуется режим регулярных колебаний периода Т. При некотором номере элемента режим одночастотных колебаний становится неустойчивым и возникает режим удвоенного периода, затем и он теряет устойчивость и т. д. вплоть до установления режима хаотических колебаний. Если каждый из элементов — автогенераторов — находился в режиме стохастических колебаний, то при движении вдоль цепочки наблюдается развитие хаоса — интенсивность колебаний увеличивается, а в спектре уменьшаются выбросы (спектр «сглаживается»). В цепочке описанных автогенераторов ван-дер-полевского типа имел место пространственный переход к хаосу через квазипериодичность: сначала наблюдался квазимонохроматический режим, сменявшийся затем режимом биений с большим числом гармоник; при дальнейшем движении «вниз по потоку» этот режим переходил в слабо хаотический. Далее хаос развивался, интенсивность колебаний возрастала, но при достаточно больших она уже не изменялась — устанавливался режим пространственно однородного хаоса.

В [31] было высказано предположение, что подобные модели можно использовать для объяснения развития хаоса не только в гидродинамических системах (цепочка связанных друг с другом вихрей Тейлора, на которых возбуждены азимутальные моды; ансамбль спиральных вихрей в пограничном слое на вращающемся конусе и др.), но и в электронных потоках. Последнее нашло подтверждение в экспериментах [32] с цилиндрическим кольцевым электронным пучком, дрейфующим в продольном постоянном магнитном поле.

1
Оглавление
email@scask.ru