24.4. О механизмах самоорганизации

Обычно на линейной стадии нарастает широкий спектр пространственных возмущений. Однако, когда неустойчивости резонансны, т. е. нарастают лишь возмущения определенного пространственного масштаба, не они зачастую определяют масштаб возникших структур, а их последующее взаимодействие с другими. Таким образом, главным здесь представляются не особенности неустойчивостей (хотя и они важны), а механизмы отбора и формирования структур на линейной стадии. Здесь же довольно мало конкретных результатов, поэтому мы ограничимся обсуждением лишь простейших механизмов формирования различных пространственных масштабов и их взаимной синхронизации. Сделаем это на примере бенаровской конвекции.

Ограничимся при нашем рассмотрении случаем слабого превышения над порогом конвективной неустойчивости (см. гл. 21) в жидкостях с квадратичной зависимостью вязкости от температуры. При этом поле скорости можно представить в виде большого числа

синусоидальных мод, не учитывая их пространственных гармоник, — при малой надкритичности нелинейность также можно считать малой. Если бы дополнительная нелинейность, связанная с зависимостью вязкости от температуры, отсутствовала, в подогреваемом плоском слое жидкости устанавливалась бы простейшая конвективная структура в виде валов (см. гл. 21). Пространственный масштаб этих валов определяется, как мы уже говорили, конкуренцией мод с близкими пространственными масштабами. В случаях, когда можно не учитывать граничные условия, ориентация этих валов на плоскости произвольна и определяется лишь начальными условиями.

Дополнительная квадратичная нелинейность, возникающая из-за зависимости вязкости от температуры, приводит к резонансной связи между модами одного масштаба и различной пространственной ориентации. Простейший вариант такой связи — это связь трех мод с одинаковыми по модулю и развернутыми друг относительно друга на 60° волновыми векторами: где . Нелинейное взаимодействие приводит к установлению стационарной конвекции с равными амплитудами этих мод и синхронизованными фазами (как и в рассмотренном примере). В результате поле скорости принимает вид

— вертикальная компонента скорости жидкости). Ориентация ячеек в пространстве произвольна и зависит лишь от начальных условий. Для нахождения решения, описывающего такую структуру, следует представить в виде

Для действительных амплитуд можно получить уравнения

Таким образом, линейная неустойчивость переходит во взрывную, вызванную взаимодействием параметрических связанных мод на диссипативной нелинейности Ограничение неустойчивости происходит за счет кубичной нелинейности в зависимости вязкости от температуры. Система (24.14) имеет устойчивое стационарное решение которое и соответствует шестигранным призматическим ячейкам(см. рис. 24.1 а).

Таким образом, из приведенного примера видно, что именно синхронные взаимодействия между модами определяют форму возникающих в результате неустойчивостей пространственных структур. Конкуренция же обеспечивает устойчивость этих структур по отношению к нерезонансным возмущениям.

Помимо поисков и открытий новых видов структур и исследования механизмов их образования в теории самоорганизации сегодня появилась новая увлекательная область — направленная организация структур с помощью внешних полей. Чтобы проиллюстрировать нетривиальность задач подобного рода, приведем один сравнительно простой пример. Рассмотрим влияние статического периодического в пространстве поля на диссипативные структуры в одномерной среде. Исходным будет уравнение диффузии

При в такой среде существуют диссипативные структуры, описываемые уравнением осциллятора

В присутствии периодической неоднородности естественно ожидать навязывание периодической структуры заданного периода. Однако даже при слабой неоднородности (малом структуры оказываются стохастическими [25].

Анализ поведения диссипативных структур или бегущих импульсов во внешних полях представляет собой частный случай задачи о поведении когерентных образований в поле друг друга, т. е. задачи об их взаимодействии. Сюда относятся задачи о столкновении нервных импульсов, фронтов горения, цилиндрических и спиральных волн. Очевидный интерес представляет анализ взаимодействия структур разного типа и природы. В этих направлениях уже имеются определенные успехи. Отметим, в частности, эксперимент Агладзе и Кринского [25], в котором на примере двумерной реакции Белоусова-Жаботинского наблюдалось взаимодействие спиральных вихрей со структурами типа бенаровских ячеек. В результате такого взаимодействия реакция переходила

в стохастический режим, появлялась «химическая» турбулентность.

В [29, с. 7-44] обсуждены проблемы, связанные с формированием автоструктур (не зависящих от начальных и граничных условий локализованных образований) в неравновесных диссипативных средах, и исследована динамика пространственных ансамблей таких структур. В частности, проведен анализ простой модели — одномерного ансамбля не взаимно связанных структур, представляющих собой цепочку, состоящую из элементов, динамика которых описывается одномерным отображением типа параболы. Напомним, что такое отображение описывает динамику самых различных физических систем, демонстрирующих при изменении параметра цепочку бифуркаций удвоения периода. Пусть параметры цепочки выбраны так, что в первом элементе реализуется режим регулярных колебаний периода Т. При некотором номере элемента режим одночастотных колебаний становится неустойчивым и возникает режим удвоенного периода, затем и он теряет устойчивость и т. д. вплоть до установления режима хаотических колебаний. Если каждый из элементов — автогенераторов — находился в режиме стохастических колебаний, то при движении вдоль цепочки наблюдается развитие хаоса — интенсивность колебаний увеличивается, а в спектре уменьшаются выбросы (спектр «сглаживается»). В цепочке описанных автогенераторов ван-дер-полевского типа имел место пространственный переход к хаосу через квазипериодичность: сначала наблюдался квазимонохроматический режим, сменявшийся затем режимом биений с большим числом гармоник; при дальнейшем движении «вниз по потоку» этот режим переходил в слабо хаотический. Далее хаос развивался, интенсивность колебаний возрастала, но при достаточно больших она уже не изменялась — устанавливался режим пространственно однородного хаоса.

В [31] было высказано предположение, что подобные модели можно использовать для объяснения развития хаоса не только в гидродинамических системах (цепочка связанных друг с другом вихрей Тейлора, на которых возбуждены азимутальные моды; ансамбль спиральных вихрей в пограничном слое на вращающемся конусе и др.), но и в электронных потоках. Последнее нашло подтверждение в экспериментах [32] с цилиндрическим кольцевым электронным пучком, дрейфующим в продольном постоянном магнитном поле.