23.3. Стохастическая модуляция

До сих пор мы вели речь о возникновении в распределенной системе стохастичности, характеризуемой сплошным спектром, включающим в себя и низкие частоты, в том числе и . В экспериментах часто встречаются ситуации, когда стохастические пульсации возникают на фоне гармонических колебаний — стохастическая модуляция. Поскольку это явление имеет разнообразные приложения, остановимся на нем подробнее.

Рис. 23.6. Схема лампы обратной волны (б) и анализируемая модель (а): 1 — электронный пучок; 2 — среда; 3 — выходное устройство; 4 — входное устройство; 5 — электронная пушка; 6 — замедляющая система; 7 — коллектор

Режим стохастической модуляции может возникнуть в автономной волновой системе в результате развития собственной неустойчивости. Примером такой системы может служить лампа обратной волны. В этом электронном генераторе наблюдался [17] переход к режиму колебаний со стохастической модуляцией. Блок-схема генератора показана на рис. 23.6. Электронный пучок движется сквозь замедляющую систему, вдоль которой распространяются волны с продольным электрическим полем. Параметры системы таковы, что фазовая скорость этих волн на некоторой частоте совпадает со скоростью пучка а групповая скорость направлена в обратную сторону. Выходной сигнал снимается с того же конца замедляющей системы, куда поступает пучок. Тогда при взаимодействии волновых возмущений частоты и с электронным потоком реализуется распределенная обратная связь и возникает абсолютная неустойчивость, приводящая к стационарному режиму генерации (см. гл. 7). Характер этого режима определяется только одним параметром, подобным числу Рейнольдса для гидродинамического течения: где — волновое число волны, синхронной с потоком, — длина взаимодействия, I — постоянная составляющая тока пучка, — ускоряющее напряжение, К — параметр системы с размерностью сопротивления. Последовательность бифуркаций, наблюдаемых в этой системе по пути к режиму стохастической модуляции (при увеличении параметра представлена на рис. 23.7. При возникает стохастический режим, характеризуемый сплошным спектром.

Рис. 23.7. Спектры выходного сигнала ЛОВ в различных автоколебательных режимах: а — одночастотные; б, в — многочастотные; г — стохастические колебания

В экспериментах с ЛОВ изменялись параметры замедляющей системы, электронного пучка, питания и т. д. и было обнаружено, что характер переходов по пути к хаотической модуляции качественно не меняется и в различных вариантах эксперимента определяется лишь параметром Такое подобие говорит о том, что флуктуации (в частности, шумы электронного пучка) непринципиальны для возникновения стохастического режима в ЛОВ. Режим стохастических автоколебании удавалось разрушить с помощью синхронизирующего внешнего сигнала [26]. Наиболее эффективно такая синхронизация происходила, если периодическое воздействие подавалось на частотах, соответствующих левым сателлитам в спектре предтурбулентного режима. Наблюдался и обратный процесс — при воздействии периодическим сигналом на ЛОВ в предтурбулентном режиме дискретный спектр, соответствующий периодической модуляции при достаточно больших расстройках между частотой подаваемого сигнала и частотой сателлита сменялся сплошным спектром. Все эти изменения происходили при одном и том же токе пучка (т. е. при одних и тех же флуктуациях в электронном потоке), что также свидетельствует в пользу динамического происхождения наблюдаемого стохастического режима.

В специальных расчетах и экспериментах [27] по исследованию процесса установления колебаний в ЛОВ была зафиксирована четкая связь между возникновением хаоса и появлением неустойчивости движения системы по отношению к возмущению начальных условий. Как указано в гл. 22, количественным выражением этой неустойчивости является существование положительной энтропии Колмогорова (у аттрактора должен быть хотя бы один положительный ляпуновский показатель). В [27] приведены согласующиеся между собой оценки энтропии Колмогорова из расчетов и эксперимента; показано, что степень неустойчивости движения на аттракторе возрастает с увеличением параметра

Обработка полученной в численном эксперименте реализации выходного сигнала ЛОВ показала, что наблюдаемому стохастическому

режиму отвечает странный аттрактор конечной дробной размерности в частности, при было получено .

В рассматриваемой системе (электронный пучок — обратная волна стохастическая модуляция может быть детально описана в рамках усредненных уравнений, полученных из уравнений для поля и пучка [18, 30]. Как уже отмечалось, эффективное взаимодействие пучка с полем обратной волны возможно в случае, если какая-либо ее пространственная гармоника имеет скорость, близкую к скорости электронов. Тогда, если поле этой гармоники записать в виде

где частота 1) определяется из условия синхронизма — скорость пучка), то для нормированной медленно изменяющейся амплитуды и для фазы в электрона относительно волны может быть получена система уравнений

с граничными и начальными условиями

Эти уравнения, действительно, содержат лишь один параметр

Как следует из численного анализа системы (23.1), (23.2), при устанавливается немодулированный режим; при возникает периодическая модуляция, после чего при процесс становится непериодическим. Спектральная обработка реализации показывает, что спектр мощности в режиме стохастической модуляции согласуется с наблюдаемым в эксперименте; автокорреляционная функция этого процесса спадает достаточно быстро.

В данном примере исследуемая модель, хотя и упрощена (за счет усреднения по высокочастотным осцилляциям) по сравнению с походными уравнениями, однако сохраняет их основную особенность — бесконечное число степеней свободы. Правда, при численном счете эта система заменяется конечномерной, однако с достаточно большим числом мод.

Когда речь идет об исследовании сложной динамики, возникающей в результате развития вторичных неустойчивостей на фоне, например, периодического движения, задача построения модовых моделей, непосредственно следующих из исходных уравнений, чрезвычайно усложняется. Здесь уже сама модель зачастую должна строиться с помощью вычислительной машины. Развитие каких-либо качественных представлений и построение теории на физическом уровне таким образом представляется затруднительным. В подобных ситуациях весьма полезными оказываются чисто феноменологические модели, основанные на элементарных физических представлениях и эксперименте. Одну такую модель мы сейчас обсудим [19]. Она построена для описания возникновения хаотической модуляции вихрей Тейлора в цилиндрическом течении Куэтта.

В эксперименте наблюдалась следующая последовательность спектров мощности течения при увеличении . При реализуется течение, в котором на фойе вихрей Тейлора возбуждены азимутальные волны (границы вихрей изогнуты). Увеличение скорости вращения внутреннего цилиндра ведет к серии последовательных усложнений спектра, и при и 1270 возникает уширение пиков на спектре мощности, соответствующее хаотизации течения. С ростом эти пики продолжают уширяться, и наконец спектр становится почти сплошным.

При феноменологическом описании данного эксперимента в качестве модели можно использовать уравнения непосредственно для — амплитуд изгиба границы между вихрями в паре с номером

Эти уравнения сконструированы следующим образом: первые два слагаемых каждого уравнения совпадают с правой частью известного уравнения Ландау [1]. Если то это уравнение

описывает рост и стабилизацию изгибных колебаний вихрей за счет самовоздействия взаимодействия со средним потоком. Модель (23.3) учитывает еще и взаимодействие между вихрями. Поскольку из эксперимента следует, что взаимодействие является малым, то естественно ограничиться слагаемыми только первого порядка по амплитуде. Коэффициенты этой модели в принципе должны определяться непосредственно из эксперимента. Добавим, что (23.3) — это дифференциальноразностный аналог нелинейного уравнения Шредингера для неравновесных сред [20].

При малых надкритичностях систему (23.3) из 30 уравнений можно укоротить до трех и перейти к модели [20], в рамках которой также обнаруживается хаотическая модуляция (см. гл. 22). Дальнейшее увеличение надкритичности приводит к пяти уравнениям и т. д. Во всех этих моделях турбулентности присутствует странный аттрактор, однако по мере увеличения числа Рейнольдса размерность модели, в рамках которой он обнаруживается, должна возрастать.

При исследовании распределенных систем возникает вопрос о том, в какой мере для них справедливы закономерности универсальности и подобия в поведении вблизи порога возникновения хаоса и в сценарии перехода к хаосу, установленные для простых систем (см. гл. 22).

О наблюдении таких сценариев в экспериментах с ЛОВ при наличии отражений от замедляющей системы мы уже указывали выше. Тщательные эксперименты с генератором автостохастических колебаний, предложенным В. Я. Кисловым и его сотрудниками [28], показали следующее (см., например, работу [29], в которой исследуемый генератор представлял собой замкнутую в кольцо цепочку из ЛБВ, резонансного фильтра и акустической линии задержки). При изменении глубины обратной связи и настройки фильтра исследуемая распределенная система демонстрировала практически все сценарии перехода к хаосу, известные для простых систем: 1) через последовательность бифуркации удвоения периода; 2) через разрушение квазипериодических движений: 3) через бифуркации «удвоения торов»; 4) через перемежаемость.