Глава 3. Колебания в ансамбле невзаимодействующих осцилляторов

3.1. Классическая теория дисперсии

Наиболее важны с точки зрения приложений два случая: почти тривиальный, когда осцилляторы тождественны, и существенно более интересный, когда осцилляторы имеют разброс по частотам или коэффициентам затухания. Рассмотрение поведения ансамбля идентичных невзаимодействующих осцилляторов составляет основное содержание классической теории дисперсии света. Нетождественность же осцилляторов необходимо учитывать, например, при анализе рассеяния электромагнитных волн в нагретых газах, где разброс молекул по скоростям приводит к доплеровскому сдвигу их частот относительно частоты поля.

Механическая теория дисперсии света фактически была построена Максвеллом в 1869 г. как решение экзаменационной задачи, а затем уже в 1871 г. Зельмейер вновь получил формулу, связывающую показатель преломления и частоту в механической теории эфира [1].

Рис. 3.1. Механическая модель атома: — масса и заряд электрона; х — его координата; — жесткость пружины; справа — устройство, создающее силу, пропорциональную скорости [2]

Рассмотрим среду, состоящую из идентичных осцилляторов, не взаимодействующих друг с другом, например, среду, представляющую собой ансамбль независимых атомов, в каждом из которых всего один электрон. Механическая модель атома изображена на рис. 3.1.

В рамках этой модели электрон представляется линейным осциллятором с затуханием, колебания которого под действием внешнего поля

описываются уравнением

где — масса и заряд электрона, — сила «трения», которая введена для учета поглощения излучения, — — квазиупругая возвращающая сила, Е — амплитуда напряженности внешнего электрического поля, действующего на электрон. Вообще говоря, электроны и ионы колеблются в неоднородном поле электромагнитной волны (k — волновое число). Однако здесь мы пренебрежем зависимостью поля от координаты, считая, что амплитуда колебаний электрона много меньше длины даже оптической волны. Тогда, если ввести обозначения (потери в атомном осцилляторе), — собственная частота осциллятора) и то приходим к уравнению, аналогичному (1.26). Для вынужденных колебаний осциллятора из (3.1) с учетом введенных обозначении находим

Нас интересует зависимость от частоты диэлектрической проницаемости или поляризуемости среды, представляющей набор осцилляторов. Поляризуемость элементарного осциллятора равна , где — дипольный момент одного атома, приобретенный в электрическом поле. Вектор поляризации среды, содержащей в единице объема атомов, . Отсюда, имея в виду, что электрическое смещение находим диэлектрическую проницаемость среды (единица означает диэлектрическую проницаемость вакуума), зависимость которой от частоты находится из (3.2).

Для действительной и мнимой частей диэлектрической проницаемости получается

Если ввести комплексный показатель преломления формулой (n - вещественный показатель преломления, х - показатель затухания среды), то

При можно считать, что . Тогда приходим к известной формуле Зельмейера

Из соотношений (3.3) и (3.4) следует (рис. 3.2), что в той области частот, где поглощение мало, показатель преломления растет с частотой (нормальная дисперсия). В области частот, где поглощение велико, имеет место аномальная дисперсия, падает с частотой.

Рис. 3.2. Зависимость диэлектрической проницаемости от частоты

В рассматриваемой модели атом представляет собой колеблющийся диполь, который всегда испускает (рассеивает) электромагнитное излучение с амплитудой пропорциональной т. е.

при Поскольку интенсивность рассеянного излучения пропорциональна квадрату его амплитуды, получаем, что

Проанализируем (3.5) в предельных случаях, когда внешнее излучение имеет частоту из, либо много большую, либо много меньшую .

В видимой области спектра, когда

что соответствует так называемому рэлеевскому рассеянию. Эта формула позволяет, в частности, дать вариант ответа на вопрос: почему небо голубое? Действительно, ведь частота голубого света больше частоты красного и, хотя в собственном излучении Солнца синий участок спектра достаточно слабый, рассеивается голубой свет значительно сильнее, чем красный. Молекулярное рассеяние света широко используется для диагностики прозрачных сред, например, его можно использовать для определения размера, формы и средней скорости макромолекул или достаточно крупных бактерий в растворе [6].

В другом предельном случае, когд из и интенсивность что соответствует, например, столкновению быстрых электронов или взаимодействию рентгеновского излучения с веществом, получаем

Интенсивность излучения не зависит от частоты (рассеяние Томсона). Как известно, в электронном микроскопе изображение получается после столкновения быстрых электронов с исследуемыми образцами (электрону ставится в соответствие волна де Бройля). При этом формула (3.7) сразу объясняет «неумение» электронного микроскопа «различать» цвета.

Рассмотрим, наконец, соотношения (3.3) и (3.4) в так называемом пределе Лоренца, когда частота внешнего воздействия близка к собственной частоте атома (частота возбуждения близка к линии поглощения в спектре). Будем считать, что Тогда

где характерное время релаксации. Выражения, стоящие в квадратных скобках в формулах (3.8) и (3.9), часто встречаются в различных задачах спектроскопии и носят название лоренцева контура спектральной линии. Выражение в квадратных скобках (3.9) называют контуром поглощения, причем ширина лоренцевой линии позволяет измерять время релаксации исследуемого вещества. Заметим, что модель среды из идентичных невзаимодействующих осцилляторов является весьма универсальной. Действительно, рассматривая вместо «электрона на пружине» «ядро на пружине», можно вычислить прочность химических связей между атомами в молекуле. Для этого нужно определить частоты которые лежат в инфракрасной области спектра [3].

В реальной ситуации атомы-осцилляторы не тождественны друг другу. Приведет ли это к качественно новым эффектам? Поскольку диэлектрическая проницаемость среды — это сумма проницаемости вакуума и откликов каждого из невзаимодействующих осцилляторов на действующее поле, найдем суммарный отклик:

В классических (не квантовых) моделях вещества предполагается, что среда состоит из электронов и ионов — частиц, имеющих различные заряды массы и концентрации которые и составляют ансамбль невзаимодействующих затухающих линейных осцилляторов с разными собственными частотами и коэффициентами затухания .

Изложенная классическая теория дисперсии и поглощения является, очевидно, модельной, причем в модель привнесены квазиупругие силы — и силы трения — которых нет в атомах и молекулах: все силы, действующие внутри них, имеют электрическую природу.

Что же дает квантовомеханическая теория дисперсии и поглощения? Пусть электромагнитная волна действует на совокупность невзаимодействующих нейтральных атомов, фиксированных в пространстве и содержащих только по одному электрону (простейшая модель твердого тела). Используя нестационарную теорию возмущений [4], для вещественной части диэлектрической проницаемости можно получить

где сила осциллятора для перехода в состояние, причем

ехок — матричный элемент компоненты дипольного момента электрона в направлении вектора напряженности электрического поля; — волновая функция основного состояния атома, — волновая функция возбужденного состояния атома.

При выводе (3.11) не учитывались эффекты естественного радиационного затухания уровней, уширения спектральных линий из-за примесей и т. д. Феноменологический учет подобных факторов приводит к формуле (3.10), если в ней заменить на и считать