Глава 24. Самоорганизация

24.1. Основные явления, модели, математические образы

Наиболее широко явления, связанные с самоорганизацией (возникновением пространственного порядка из беспорядка, образованием сложных пространственных структур в однородной среде и др.), начали обсуждаться в 50-60-е годы в связи с задачами химической кинетики и биологии. В частности, было дано качественное описание волн в сердечной мышце [1], модели морфогенеза [2], автокаталитической химической реакции Белоусова-Жаботинского [3]. Примерно в те же годы была построена теория структур в некоторых гидродинамических течениях (ячейки Бенара при термоконвекции, вихри Тейлора между вращающимися цилиндрами [4]).

Довольно быстро выяснилось, что возникновение сложных образований в нелинейных средах или пространственных ансамблях различной природы описывается сходными математическими моделями и решениями [5, 6, 9]. Это позволило (как уже не раз было в теории колебаний и волн) перенести опыт и знания, накопленные, например, при исследовании реакции горения, на анализ распространения популяций в экологической задаче или распространения возбуждения в сердечной ткани. В результате выработались новые понятия и образы: диссипативная структура, бегущий импульс, ревербератор и т. д. - и начали выкристаллизовываться основные универсальные модели, описывающие возникновение и существование структур [7, 8, 15, 19-21, 29, 33, 34]. Фактически возникло новое направление в «нелинейных науках», которое называют неравновесной термодинамикой [5, 2], синергетикой [6, 28], теорией самоорганизации [9, 27], теорией автоволн [7, 30].

Чрезвычайный интерес физиков к явлениям самоорганизации стимулировался проблемами биологии. Самоорганизация наблюдается в ансамблях даже сравнительно простых биологических объектов, например амебоподобных клеток [10]. Такие клетки примерно один раз в 5 мин выделяют гормон цАМФ, однако при достаточном количестве пищи клетки на этот гормон не откликаются и живут независимо.

В более жестких условиях одна из клеток начинает ускоренно выделять гормон цАМФ и синхронизует выделение этого гормона у своих ближайших соседей, которые в свою очередь синхронизуют выделение гормона у своих соседей и т. д. После возбуждения гормоном клетка начинает двигаться в сторону возбудителя. Таким образом, возникают два встречных движения — расходящиеся волны стимулятора или синхронизации и сходящееся движение клеток. Этот процесс заканчивается агрегацией — появляются споры, способные выжить в экстремальных условиях.

Традиционный физический пример самоорганизации — возникновение в подогреваемом снизу слое жидкости структуры из шестигранных призматических ячеек (ячейки Бенара, рис. 24.1 а). Для образования подобной структуры принципиальны неравновесность нелинейной среды и ее диссипативность — в результате развития конвективной неустойчивости нарастают возмущения поля скорости и температуры в некотором интервале пространственных масштабов, затем из-за эффекта конкуренции масштабов (возможного только при наличии диссипации) выживает решетка лишь вполне определенного масштаба (рис. 24.16). Шестигранники образуются в результате синхронизации фаз решеток с разной пространственной ориентацией (см. § 24.4). Такая синхронизация возможна в жидкостях, где вязкость (поверхностное натяжение или диффузионные коэффициенты) зависит от температуры. Формальное описание синхронизации различных пространственных мод содержится в § 24.4. Ни масштаб решетки, ни структура ячеек практически не зависят от условий на боковых границах слоя, если его размеры по горизонтали достаточно велики.

Что же такое самоорганизация? Мы будем называть самоорганизацией установление в диссипативной неравновесной среде пространственных структур (вообще говоря, эволюционирующих во времени), параметры которых определяются свойствами самой среды и слабо зависят от пространственной структуры источника неравновесности (энергии, массы и т. д.), начального состояния среды и условий на границах. Таким образом, для самоорганизации наиболее принципиальны потеря памяти о начальных условиях и прямая связь параметров структуры со свойствами среды.

Как видно из примеров, самоорганизация есть результат развития пространственно неоднородных неустойчивостей с их последующей стабилизацией за счет баланса между диссипативными расходами и поступлением энергии от источника неравновесности. Процесс возникновения самоорганизации напоминает процесс установления

(см. скан)

Рис. 24.1. Ячеистая конвекция: а — структура ячеек Бенара; б - возникновение и установление роликовой структуры при конвекции Бенара в прямоугольной ячейке (вид сбоку)

автоколебаний. Однако результат развития неустойчивости, приводящей к самоорганизации, может быть и чисто «статическим»: возникают пространственные образования, не меняющиеся во времени, — диссипативные структуры (добавим, что они могут быть и стохастическими [12]). И другое отличие — для самоорганизации условия на периферии неравновесной диссипативной среды не столь существенны, как для автоколебаний.

Явления самоорганизации даже в рамках нашего определения весьма разнообразны. В их числе можно назвать возникновение диссипативных структур, уединенных фронтов (волн горения [11], волн популяций

[16, 7]), импульсов (в нервных волокнах [13, 14] и автокаталитических реакциях [9]), ведущих центров и ревербераторов (сердечная ткань [17], кооперации амеб [10], волны депрессии в тканях мозга и сетчатке глаза [18]) и др. По этой причине у явления самоорганизации не один математический образ (как странный аттрактор для стохастических автоколебаний, или предельный цикл для периодических), а несколько: это предельный цикл — для периодических диссипативных структур; странный аттрактор — для стохастических; сепаратрисы, идущие из одного состояния равновесия в другое, — для распространяющихся фронтов и т. д.

Тем не менее многие явления описываются теорией самоорганизации в рамках единых моделей, математически выражающихся нелинейными кинетическими уравнениями диффузного типа:

Здесь и — набор физических (химических и т. д.) переменных, который определяет нелинейную кинетику в отсутствие диффузии, D — матрица коэффициентов диффузии (в общем случае D также зависит от и — нелинейная диффузия).

Рис. 24.2. Зависимости скорости изменения и в «точечной» системе от к в случае беспорогового и порогового распространения фронта волны (если имеет пять (и более) нулей, в системе (24.2) могут возбуждаться несколько устойсивых волн с разными амплитудами) (а) и траектории на фазовой плоскости для (б)

Конкретное обсуждение явлений самоорганизации мы начнем с анализа уединенных фронтов. Для определенности будем говорить об установлении стационарного распространения пламени. При этом происходит реакция окисления, в ходе которой высвобождается тепло. В процессе горения участвует сравнительно тонкая область, в которой происходит химическая реакция, т. е. область, отделяющая холодное

горючее от продуктов сгорания, движется относительно горючего вещества с постоянной скоростью, не зависящей от начальных условии. Фронту волны горения соответствует частное решение системы дифференциальных уравнений в обыкновенных производных для стационарных волн. В фазовом пространстве эти решения изображаются сепаратрисой, соединяющей два состояния равновесия (рис. 24.2), одно из которых соответствует значениям переменных перед фронтом (реакция еще не началась), а другое — за фронтом (реакция закончилась).

Для аналитического описания наиболее прост случай одномерного горения (пример — распространение пламени по бикфордову шпуру). Будем считать, что процесс описывается одной переменной и, тогда вместо (24.1) получаем кинетическое уравнение

В уравнении (24.2) может быть температурой, численностью живых особей, концентрацией сгоревшего топлива и т. п. Скорость изменения и в системе без диффузии — так называемой «точечной» системе — определяется функцией . Для рассматриваемого класса неравновесных сред имеет вид кривых, представленных на рис. 24.2 а.

Введем «бегущую» переменную . Тогда из (24.2) находим для стационарных волн или

где . Если задана и заданы граничные условия для , то из (24.3) можно найти — скорость распространения волны.

Впервые такая задача была поставлена и решена в [22] при анализе следующей биологической проблемы. Пусть некоторая большая территория занята определенным биологическим видом с определенной концентрацией близкой к единице. Вдоль границы рассматриваемой территории будет находиться область промежуточных значений концентраций, а за пределами этой области можно считать близкой к нулю. В результате «положительного отбора» территория, уже занятая видом, будет увеличиваться, т. е. ее граница будет перемещаться в сторону не занятых видом областей. Какова нормальная скорость перемещения границы области, занятой видом? Математически задача описывается уравнением (24.3), причем удовлетворяет следующим условиям: при при (кривая на рис. 24.2 а). Необходимо найти связь между при которой решения (24.3)

таковы, что при Из (24.3) находим

Представляют интерес только те интегральные кривые уравнения (24.4), которые на плоскости проходят между прямыми приближаясь к точкам Указанные точки — особые точки уравнения (24.4), к которым интегральная кривая должна приближаться, не пересекая прямых , т. е. не закручиваясь. Но это значит, что для существования интегральных кривых характеристическое уравнение для каждой из особых точек должно иметь действительные корни. Если, как в [22], вблизи особой точки положить то характеристическое уравнение для точки можно записать следующим образом:

Уравнение (24.5) имеет положительные корни при

(Предлагаем читателю самому найти и исследовать характеристическое уравнение для точки . Отсюда следует, что стационарная волна может иметь скорость в интервале где минимальное значение скорости определяется из Неустойчивость исходного однородного состояния приводит к тому, что появляются скорости волн, большие а асимптотически устойчива только волна, движущаяся со скоростью

При произвольных общего метода решения краевой задачи для (24.3) нет, однако если — антисимметричный полином, то . Например, при — константы; функция начинается от нуля и при дальнейшем увеличении и становится отрицательной, затем обращается снова в нуль, вновь становится положительной, достигает максимума и наконец принимает нулевое значение при (кривая на рис. 24.2 а)), подставляя в , приходим к выводу, что имеется единственная скорость

распространения стационарной волны [23]. При данное решение описывает процесс возникновения нервных импульсов, «самовозгорание» и т. п. Соответствующая решению фазовая траектория — сепаратриса — идет из седла в седло (рис. 24.26).