15.3. Точечные отображения

Одним из наиболее удобных методов анализа нелинейных динамических систем является метод точечных отображений [6] или метод отображений Пуанкаре.

С помощью этого метода удается эффективно понизить размерность исследуемого фазового пространства. Особенно продуктивен метод точечных отображений в численных экспериментах.

Будем интересоваться поведением траекторий в какой-либо области фазового пространства. Выберем затем некоторую поверхность , которую все или почти все траектории в интересующей нас области пересекают. Такая поверхность называется секущей. Если траектории не покидают исследуемую область, то они будут проходить сквозь секущую поверхность счетное число раз (рис. 15.7). Функция определяющая связь координат пересечения траектории с поверхностью с координатами следующего пересечения, называется функцией последования:

Рис. 15.7. Сечение фазового потока в трехмерном пространстве: Е — секущая поверхность, которой фазовые траектории не касаются

Поскольку переменная х здесь фиксируется лишь в дискретные моменты времени, это уже не дифференциальное уравнение, а разностное. Каждому фазовому потоку (т. е. динамической системе, описываемой дифференциальным уравнением) соответствует вполне определенное отображение (15.6). Если поток трехмерный, то отображение

двумерное — векторы имеют только две координаты; если поток двумерный, то секущая — просто линия и отображение одномерное. Для трехмерных систем то обстоятельство, что отображение на единицу понижает размерность пространства, качественно упрощает исследование — мы приходим к фазовой плоскости, где все нам привычно. Вот, например, как выглядят седловой предельный цикл и близкая к нему траектория в фазовом пространстве (рис. 15.8 б). При этом на плоскости Е это соответствует неустойчивой неподвижной точке.

Рис. 15.8. Устойчивая (а) и седловая (б) неподвижные точки на секущей, соответствующие устойчивому и седловому циклам

Устойчивому предельному циклу на секущей плоскости соответствует устойчивая неподвижная точка (рис. 15.8 а).

Для одномерного отображения устойчивость неподвижной точки удобно иллюстрировать с помощью диаграммы (диаграмма Ламерея), изображающей последовательность (15.6). Для этого построим на плоскости кривую зависимости тогда неподвижная точка определяется пересечением этой кривой с прямой (рис. 15.9). «Лесенка» Ламерея позволяет определить устойчивость неподвижной точки: рис. 15.9 а — «лесенка» ведет к устойчивой неподвижной точке, при этом рис. 15.9 б — «лесенка» уводит от неподвижной точки, — неустойчивость.

Рассмотрим теперь общий -мерный случай. Введем на Е систему координат . Тогда определяемая траекториями системы связь координат точки пересечения траектории с Е с координатами точки пересечения и есть отображение Пуанкаре

Рис. 15.9. Диаграммы Ламерея для устойчивого (а) и неустойчивого (б) периодического движения

где — параметр динамической системы. Периодическому движению соответствует неподвижная точка этого отображения, а движению по незамыкающейся обмотке тора — тор на единицу меньшей размерности. Устойчивость периодического движения, т. е. неподвижной точки, по линейному приближению определяется собственными значениями матрицы т. е. корнями характеристического уравнения где Е — единичная матрица. Эти собственные значения называются мультипликаторами (название проясняет и смысл: мультипликатор — это коэффициент передачи для малого возмущения, выбранного на Е, за один проход). В автономных системах один из мультипликаторов, соответствующий эволюции возмущения вдоль периодической траектории, всегда равен единице, т. е. число мультипликаторов, значимых с точки зрения анализа бифуркаций в системе с -мерным фазовым пространством, будет равно

Если все мультипликаторов по модулю меньше единицы, т. е. лежат на комплексной плоскости внутри единичного круга, то все возмущения на каждом шаге (обороте возмущенной траектории) уменьшаются и периодическое движение устойчиво. Если же хоть один из мультипликаторов находится вне единичного круга — то неустойчиво. Таким образом, бифуркации периодических движений происходят при переходе мультипликаторов через единичную окружность.

Подчеркнем, что поскольку здесь речь идет о малых возмущениях на фоне периодического движения, то они описываются линейным уравнением с периодическими коэффициентами. Для фундаментальной матрицы решений этого уравнения справедлива теорема Флоке (см. гл. 11): где — периодическая с периодом Т матрица. Собственные значения матрицы называются

характеристическими показателями. Мультипликаторы — это собственные значения матрицы т. е. они связаны с характеристическими показателями формулой

Рис. 15.10. Рождение и исчезновение предельного цикла: а — из сепаратрисы седла; б — из сгущения фазовых траекторий