11.3. Волны в периодических структурах. Зоны Матье и диаграммы Бриллюэна

При анализе волн в средах с периодически изменяющимися параметрами воспользуемся уравнением (11.3). Мы уже говорили, что формальное отличие (11.3) от уравнений (11.1) или (11.2) только в том, что переменная V есть функция координат, а не времени. Однако физический смысл решения уравнения (11.3) совсем иной, чем, скажем, уравнения (11.1). Действительно, можно ли надеяться на усиление волны только из-за того, что она распространяется в периодически неоднородной среде? Очевидно, нет — неоткуда для такого усиления черпать энергию. Но, как следует из формальной аналогии уравнений, решения тем не менее экспоненциально нарастают с координатой:

Что это значит? Дело в том, что наша среда допускает распространение волн в двух противоположных направлениях — прямой и встречной волн.

Когда мы искали неустойчивость по времени, нам было интересно лишь решение, соответствующее положительному характеристическому показателю (т. е. пропорциональное (речь идет о значениях параметров, лежащих внутри зон Матье). Теперь же необходимо выбрать нужное из двух слагаемых решения. Здесь-то нам и поможет физическое соображение о том, что в равновесной (хотя бы и неоднородной) среде и прямая, и встречная волны одновременно нарастать не могут. Поэтому правильным будет только если При этом и прямая, и встречная волны экспоненциально спадают вдоль направления х.

Таким образом, если волновое число волны оказывается внутри зоны уравнения Матье, то волна оказывается нераспространяющейся т. е. это зоны непрозрачности. Вне зон непрозрачности характеристический показатель Л — число мнимое, т. е. волна с соответствующим ко оказывается распространяющейся (правда, пространственно модулированной).

Таким образом, волны в периодически неоднородных средах могут распространяться только при определенных условиях. При например, т. е. когда длина падающей волны в два раза больше характерного масштаба неоднородности среды — «длины волны решетки», волна распространяться не будет (условие называют брэгговским условием отражения от периодической структуры). Физическое объяснение довольно просто: из-за резонансного отражения даже от малых неоднородностей появляется встречная волна. Она, правда, слабая, но благодаря резонансу эффект вдоль координаты х накапливается и возникает стоячая волна, т. е. на определенной длине вся энергия падающей волны будет уходить в отраженную. При условии (или вблизи области этого резонанса) прямая и встречная волны сильно связаны. Следующие зоны непрозрачности соответствуют волнам, рассеивающимся на пространственных гармониках неоднородности. Внутри этих зон ко

Если глубина модуляции параметра, характеризующего периодическую среду, не мала, то в общем случае волны в среде описываются уравнениями (см. [8])

где коэффициенты Фурье разложения в ряд периодической функции с периодом период структуры). Решениями уравнения (11.24) являются функции Хилла, частным случаем которых будут функции Матье (когда отличны от нуля только заметим, что в (11.25) функция может быть и нечетной. Решение уравнения (11.24) можно искать в виде

где — периодические функции с периодом а к (аналог ) — характеристический показатель, зависящий от коэффициентов Разлагая в ряды Фурье получаем

Каждое соответствует пространственным гармоникам волны, а величины имеют смысл волновых чисел этих гармоник. Заметим, что пространственные гармоники нельзя возбудить независимо. Подставляя это решение в (11.24), можно получить дисперсионное уравнение для определения к зависимости от коэффициентов Если в соотношении , а все остальные то из (11.25) будем иметь

т. е. приходим к уравнению типа уравнения Матье, диаграмма устойчивости которого приведена на рис. 11.5 а. На диаграмме выделены точками области непропускания (области неустойчивости), в которых — действительная величина, — значение на границах областей. Постоянной глубине модуляции и постоянной частоте сигнала при изменении на рис. 11.5 а соответствует прямая, двигаясь вдоль которой будем последовательно проходить зоны пропускания и непропускания. В том случае, когда все диаграмма устойчивости несколько видоизменится (рис. 11.5): имеет место пересечение границ областей, т. е. зоны непропускания изменяются. Заметим, что часто, говоря о полосах непропускания, их появление интепретируют как результат существования распределенной обратной связи, которая возникает при распространении волны из-за следующих одно за другим отражений от элементов периодической структуры. Чаще, чем диаграмма зон Матье, в теории периодических структур используется связанная с ней диаграмма Бриллюэна, которая является

Рис. 11.5. Диаграммы устойчивости для уравнений (11.26) (а) и (11.25) (б), взятые из [8]. Области неустойчивости выделены точками

графическим изображением дисперсионного уравнения. Поясним эту диаграмму на примере безграничной среды со слабой периодической неоднородностью. Если волна распространяется в однородной линейной среде, то (рис. 11.6 а). Когда в среду вносится слабая (бесконечно малая) периодическая неоднородность, то возникают пространственные гармоники — волны с законом дисперсии При бесконечно малом возмущении гармоники не взаимодействуют между собой (рис. 11.6 б). С ростом возмущения в точках пересечения дисперсионных характеристик рис. 11.6 6 возникает сильная связь между гармониками (рис. 11.6 в), и в результате появляется полоса непропускания — на границах этой полосы взаимодействующие гармоники имеют разные по знаку групповые скорости (см. гл. 8). На рис. показана зависимость для дисперсионного уравнения (11.24), которая иллюстрирует детали образования области непропускания. Области на -плоскости соответствующие действительным , т. е. области пропускания, называются зонами Бриллюэна. Читателю предлагается самому разобраться в том, как конкретно связаны диаграммы устойчивости (зоны Матье) и диаграммы Бриллюэна [1, 7].

Среди проблем, сводящихся к уравнению типа (11.25), упомянем еще движение электрона в поле ионной решетки в кристалле. Волны электронной плотности описываются уравнением Шредингера с периодическим потенциалом:

где Е — полная энергия, — потенциальная энергия, являющаяся

Рис. 11.6. К объяснению построения диаграммы Бриллюэна для периодически возмущенной безграничной среды: а — для однородной среды; б - для среды с бесконечно малой периодической неоднородностью, приводящей к появлению невзаимодействующих пространственных гармоник; в — случай конечного возмущения (жирные линии) — гармоники сильно связаны; г - появление полосы непропускания для системы, описываемой уравнением

периодической функцией координат (периоды изменения вдоль каждой координаты определяются структурой кристалла [1 § 40]). Для уравнений типа (11.27), как уже говорилось, существует аналог теоремы Флоке — теорема Блоха, в соответствии с которой искать решение (11.27) следует в виде где — периодические с периодами функции координат. Методы исследования уравнения (11.27), по существу, совпадают с рассмотренными выше.

Заметим, что круг задач, приводящих к анализу волн в периодических структурах, необычайно широк; в частности, интерес к таким исследованиям во многом связан с технологическими достижениями. В качестве примера укажем на создание новых типов замедляющих систем для электронных СВЧ-приборов [9], периодически нагруженных

антенн бегущей волны [10], преобразователей и фильтров объемных и поверхностных акустических волн [11, 12]. Анализ периодических структур интересен и для биологии, главным образом в связи с процессами в сложных глазах насекомых (многослойная роговая оболочка слепня; зрительная палочка глаза бабочки «ореховки», которая состоит из периодических дисков в волноводе; часть зрительной палочки глаза толстоголовки — круглый волновод с гофрированной поверхностью) [8]. Много интересных примеров волн в пассивных и активных периодических структурах можно найти в [8].