13.4. Перекрытие нелинейных резонансов

Результаты исследования свойств нелинейного резонанса, которые мы методом Ван-дер-Поля получили в предыдущем параграфе, справедливы в случае, когда в нелинейном осцилляторе реализуется лишь один единственный (изолированный) резонанс. При этом все события, если их рассматривать в трехмерном фазовом пространстве развиваются в узком кольцевом слое. Проекция такого слоя на плоскость представляет собой замкнутую полосу, локализованную вокруг той траектории автономного осциллятора, период движения по которой точно равен или кратен периоду внешнего возмущения. В отличие от случая линейного осциллятора резонанс в нелинейном осцилляторе возможен практически при произвольной частоте периодического воздействия, если, конечно, нелинейность достаточно велика. Это объясняется неизохронностью и ангармоничностью колебаний нелинейного осциллятора (неизохронность, как мы знаем, это зависимость частоты колебаний от энергии, ангармоничность — присутствие в спектре периодических колебаний высших гармоник).

Если на осциллятор, например все тот же маятник, действует малое гармоническое возмущение, то с точностью до эффектов второго порядка реализуется именно изолированный резонанс — резонанс только

при определенном уровне амплитуды А, а частота невозмущенного движения будет примерно равна частоте О возмущения. Вблизи резонанса частота и амплитуда колебаний могут меняться в некоторых пределах которые определяют ширину резонанса. Резонансы более высокого порядка типа

где — целые, имеют и более высокий порядок малости по амплитуде возмущения и величине нелинейности, и их можно не учитывать.

Ситуация качественно меняется, когда малое периодическое возмущение не гармоническое, т. е.

При этом, как легко догадаться, уже в одном и том же приближении условие резонанса (13.16) может быть выполнено сразу для нескольких различных значений А (им, естественно, будут соответствовать различные значения , т. е. в системе одновременно будут существовать несколько нелинейных резонансов, причем каждая гармоника определяет свой резонанс в соответствующей области фазового пространства. Эти резонансы могут быть изолированными — не влияющими друг на друга, но могут и перекрываться. К чему приведет такое перекрытие резонансов? Вопрос нетривиален [12, 13, 20, 21], и здесь мы попытаемся ответить на него лишь качественно, отложив более детальное обсуждение до гл. 22. Однако прежде поясним, как в нелинейном осцилляторе появляются резонансы на гармониках.

Сделаем это на примере модели

воспользовавшись для ее анализа теорией возмущений. Искомое решение представим в виде

частота сама представляется в виде разложения малую расстройку вместе с нелинейными возмущениями в правую часть, в качестве исходного будем иметь уравнение

Пусть для примера . Тогда в первом приближении резонанса не будет. Вынужденное решение имеет частоту, далекую от собственной частоты осциллятора. Однако уже во втором приближении из-за нелинейности появятся слагаемые типа т. е. в правой части уравнения для х уже будет резонансная сила на частоте амплитуда пропорциональна , следовательно, возникнет резонанс параметрического типа: соответствующая гармоника появляется благодаря произведению

Для исследования явления перекрытия резонансов удобно описывать нелинейный осциллятор в переменных «действие - угол». Поясним подробнее введение этих новых переменных.

В гл. 1 мы вводили динамические переменные и которые позволили записать уравнения движения гармонического осциллятора в канонической форме:

Пусть теперь гамильтониан имеет вид Перейдем к новым переменным в (вместо ) и I (вместо ) таким, чтобы уравнения движения оставались каноническими с новым гамильтонианом

Определим переменные следуя [10]. Для уравнений Гамильтона справедлив принцип наименьшего действия:

(координаты и импульсы варьируются независимо). Для новых переменных

Соотношения (13.21) и (13.22) эквивалентны друг другу, когда подынтегральные выражения различаются на полный дифференциал некоторой функции координат, импульсов, времени. Тогда после элементарных преобразований получим

Функция называется производящей [11]. Используя ее, находим

Пусть сначала не зависит от и в. Из (13.20) следует, что где — постоянная. Таким образом, новая переменная I сохраняется в процессе движения. Величина называется угловой переменной (или просто углом). Ее приращение за период движения равно Но из определения в видно, что Тогда с учетом первого уравнения из (13.23) получим

Из последнего соотношения следует определение переменной

которая называется переменной действия (или просто действием). На фазовой плоскости для замкнутой траектории условие означает, что сохраняется площадь ограниченная этой траекторией. В частности, для гармонического осциллятора, описываемого уравнениями (13.19), фазовая траектория есть эллипс с полуосями а его площадь — адиабатический инвариант, обсуждавшийся в предыдущей главе.

Рассмотрим теперь возмущенную систему с гамильтонианом

Пусть возмущение гамильтониана является периодическим и по в, и по с периодом характеризует внешнее воздействие с частотой

С учетом (13.20) и (13.25) уравнения движения осциллятора в «невозмущенных» переменных запишутся следующим образом:

где частота нелинейных колебаний (покажите это сами, использовав определение Будем характеризовать неизохронность осциллятора параметром (см. [10])

Учитывая периодичность возмущения по , разложим в двойной ряд Фурье:

Условием резонанса гармоники осциллятора с гармоникой внешней силы является равенство, аналогичное (13.16):

Когда резонанс один в сумме (13.29) останутся два слагаемых: одно — резонансное с аргументом А — в, второе — высокочастотное возмущение с аргументом . Оставим в (13.20) только резонансное слагаемое и перепишем уравнения (13.26) и (13.27) в виде

где — резонансная фаза. Пусть точному резонансу соответствует значение причем . При таком допущении независимо от конкретного вида функций и существует сохраняющийся универсальный гамильтониан

Покажем это. При

Вычтем (13.33) из соответствующих уравнений (13.31):

Если и нелинейность умеренная, т. е. то слагаемым, пропорциональным во втором из уравнений (13.34) можно пренебречь. Поэтому окончательно имеем

Из (13.35) следует, что гамильтониан (13.32) не зависит от времени.

Гамильтониан (13.32), как нетрудно заметить, похож на гамильтониан маятника с массой в поле тяжести с ускорением . Фазовый портрет, соответствующий (12.32), может быть построен на плоскости или с учетом того, что на плоскости дальнейшем будем иногда опускать индексы и писать просто На рис. 13.11 приведены фазовые траектории для двух нелинейных резонансов, которые не взаимодействуют между собой. Область нелинейного резонанса ограничивается сепаратрисами; внутри этой области изменение фазы ограничено (фазовые колебания). Из (13.32) для сепаратрисы находим, что когда она проходит через точку (это значит, что (k — целое число). Тогда максимальный размер по I области, ограниченной сепаратрисами, можно найти опять-таки из (13.32) при

и, следовательно,

Используя (13.36), определим максимальную ширину нелинейного резонанса:

где — частота малых фазовых колебаний. Из условия следует, что

последнее верно лишь при . При умеренной неизохронности ( величина . Таким образом, при использование универсального гамильтониана (13.32) для исследования нелинейного резонанса разумно, так как изменяются мало.

Рис. 13.11. Фазовые траектории вблизи двух резонансов при (умеренная нелинейность): 1 — нейтрально-устойчивое положение равновесия; 2 — эргодический слой; 3 — неустойчивое положение равновесия; нижние кривые — резонанс, верхние — резонанс [10]; штриховые линии — сепаратрисы первого приближения, которые разрушаются в следующих приближениях, что приводит к образованию стохастических слоев (заштрихованные области); — частотное расстояние между двумя резонансами; — ширина нелинейного резонанса

Какова физика фазовых колебаний? Как мы знаем, при нелинейном резонансе изменение амплитуды влечет за собой отклонение частоты от резонансного значения, что стабилизирует амплитуду колебаний. Но расстройка по частоте естественно приводит к изменению резонансной фазы, из-за чего амплитуда колебаний опять изменяется, возвращая частоту к резонансному значению, поскольку амплитуда изменяется в противоположном первоначальному направлении. Все это относится к изолированному резонансу. От чего зависит взаимодействие резонансов?

Оно определяется отношением ширины резонанса к расстоянию до ближайшего резонанса-соседа это отношение называется константой связи резонансов [10] и вводится как

Тогда понятно, что изолированному резонансу соответствует перекрытие резонансов будет при Что произойдет в этом случае? Из (13.32) следует, что усредненное движение системы в изолированном нелинейном резонансе на фазовой плоскости подобно поведению электрона в потенциальной «яме». Нескольким резонансам соответствует несколько потенциальных «ям» (см. рис. 13.11). Перекрытие резонансов означает, что происходит такое сближение соседних «ям», когда система может переходить из «ямы» в «яму». При таких переходах проявляется новый вид неустойчивости динамических систем — стохастическая неустойчивость (см. гл. 22 и 23).

Рассмотренная задача тесно связана с существованием минимального хаоса и своеобразной формой его проявления — стохастической паутиной [21, гл. 13, § 4; 22]. В чем проблема минимального хаоса? Она состоит в отыскании условий, при которых малые области со стохастическим поведением возникают при сколь угодно малом возмущении. Самый простой пример системы, в которой существует минимальный хаос, — два связанных нелинейных осциллятора с гамильтонианом (минимальный хаос возникает при сколь угодно малых Фазовое пространство покрывается некоторой мозаичной структурой — стохастической паутиной, — представляющей собой ячейки, отделенные друг от друга стохастическими слоями. Удивительно красивые картинки стохастических паутин с симметрией пятого и седьмого порядков приведены на цветных вкладках книги [21] (см. в [21], например, рис. XVII и XIX).