3.2. Колебания в ансамбле нетождественных невзаимодействующих осцилляторов с заданной функцией распределения

Рассмотрим поведение среды из невзаимодействующих осцилляторов, имеющих заданную функцию распределения по частотам. Это, например, молекулы газа, имеющие разные скорости. Если свойства осцилляторов меняются непрерывно, то проницаемость среды может быть получена из рассуждений, аналогичных использованным при выводе (3.10), но с помощью интегрирования. В том случае, когда мы различаем осцилляторы лишь по собственной частоте поляризуемость среды, содержащей в единице объема атомов, запишется так:

где — функция распределения числа осцилляторов по собственным частотам которая и определяет свойства «газа» из различающихся элементарных осцилляторов.

Для вычисления х нужно задать распределение Пусть — часто встречающееся распределение Лоренца (3.9):

где — ширина лоренцевои линии (рис. 3.3). Проинтегрировав (3.12) с учетом (3.13), обнаружим, что среда ведет себя как усредненный осциллятор, свойства которого определяются функцией распределения.

Рис. 3.3. Лоренцев контур линии: — частота, на которой достигает максимального значения ширина лоренцевой линии определяется на уровне 1/2/3

С помощью теоремы о вычетах возьмем интеграл [5, 7]

переходя к интегрированию по контуру и полагая для простоты не зависящим от из. Выберем в качестве контура интегрирования контур, охватывающий верхнюю полуплоскость. Найдем полюсы подынтегральной функции в (3.14), которые совпадают с нулями знаменателя и лежат в верхней полуплоскости. Имеем: (так как выбранный контур охватывает верхнюю полуплоскость, значение нас не интересует); (значение лежит в нижней полуплоскости).

Найдем вычеты для интеграла (3.14). Поскольку

то

Аналогично

Если малая величина , то

а

В частности, при

вторым вычетом можно пренебречь по сравнению с первым.

Окончательно будем иметь [7]

Из этой формулы следуют замечательные выводы: 1) поляризуемость среды, состоящей из осцилляторов с лоренцевым распределением по частотам, получается такой, как будто это ансамбль тождественных осцилляторов с собственной частотой изо и коэффициентом затухания 2) даже если среда чисто консервативная «усредненный по ансамблю» осциллятор все равно обладает затуханием Как объяснить эти эффекты? Вспомним, что осциллятор можно представить в виде вектора, вращающегося на плоскости с частотой из подобно стрелке часов, движущейся по циферблату. Если все осцилляторы одинаковы, и мы запустим их в одной фазе, то суммарный отклик такой системы на действующее поле равен произведению числа осцилляторов на отклик одного осциллятора. Но если осцилляторы немного отличаются друг от друга по частоте, то, даже запущенные в одной фазе, они через достаточно большое время равномерно распределятся по циферблату и каждому отклику найдется противофазный отклик, так что общий отклик системы на внешнее воздействие будет равен нулю. Характерное время, за которое векторы разойдутся на и суммарные колебания в системе затухнут, равно

Если осцилляторы тождественны, но связаны между собой, а связь произвольна, то, переходя к нормальным частотам, мы вновь получим «газ» невзаимодействующих осцилляторов, но с различными частотами. Таким образом, задача сведется к предыдущей.